¿Cuál es la gama de $\vec{z}^{ \mathrm{ T } }A\vec{z}$ ?

Question

Sea A una matriz de 3 por 3 $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

Entonces tenemos un vector de números reales $\vec{ z }= \left( \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array} \right)$ tal que $$\vec{z}^{ \mathrm{ T } }\vec{z} = 1$$ $$z_1+z_2+z_3=1$$

¿Cuál es la gama de $\vec{z}^{ \mathrm{ T } }A\vec{z}$ ?

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He descubierto que $A$ son -1,2 y 5 y los vectores propios son $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$$\ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)$ para cada uno.

¿Alguien puede ayudarme?