¿Es cierto que para una red $L$ , $\mathbb{R}L = \mathbb{R}^{n}$ ?

Question

Tengo como definición

Una red $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ es un subgrupo libre de rango $n$ tal que $\mathbb{R}L = \mathbb{R}^{n}$ .

No sé si estoy malinterpretando la declaración, pero tomando $\mathbb{Z}^{2} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ no parece que $\mathbb{R}\mathbb{Z}^{2} = \mathbb{R}^{2}$ . ¿No implicaría esto que cualquier punto en $\mathbb{R}^{2}$ se encuentra en una recta que pasa por el origen con pendiente racional (por lo que todo cociente de números reales da un número racional)?

Answer 1

En su ejemplo, puesto que $(0,1), (1,0) \in \Bbb{Z}^2$ tienes $\Bbb{R}\Bbb{Z}^2 \supset \operatorname{span} \{ (0,1), (1,0) \} =\Bbb{R}^2$ .

El símbolo $\Bbb{R}L$ denota el subespacio lineal abarcado por $L$ por lo que la condición $\Bbb{R}L = \Bbb{R}^n$ significa que $L$ tiene $n$ $\Bbb{R}$ -vectores linealmente independientes.