¿Convergencia de las estadísticas de orden?

Question

Supongamos que tengo una muestra $(X_1 \dots X_n)$ y $(Y_1 \dots Y_n)$ todos los cuales son $N(0,1)$ variables aleatorias. Estoy interesado en el comportamiento asintótico de

$$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^n X_{(i)}Y_{(i)} $$

Intuitivamente converge a 1. Pero, ¿cómo se demuestra esto? Es fácil demostrarlo cuando $X$ , $Y$ son uniformes, pero no estoy seguro de cómo tratar este caso (o el caso general para demostrar que $Cov(X,Y)$ converge a $Var(X)$ cuando tienen la misma distribución, si es que es cierto).

Answer 1

Parece que se puede obtener la respuesta a partir de algún tipo de prueba de hipótesis no paramétrica basada en rangos/permutaciones. Pienso así principalmente porque, convenientemente reescalada, tu cantidad convergería a alguna distribución no degenerada, y entonces esta distribución sería utilizable para la prueba de hipótesis.