¿Una aplicación del teorema de la función implícita en ecuaciones diferenciales?

Question

Sea $f$ sea una función continua de $\Bbb R^3 \to \Bbb R$ . Por a solución de la ecuación diferencial $$f(x,y,\dot{y}) = 0$$ Nos referimos a una función $y\colon U \subset \Bbb R \to \Bbb R$ donde $u$ es un intervalo abierto en $R$ que satisfaga $f(x,y(x),\dot{y}(x))= 0$ .

Sea $f\colon \Bbb R^3 \to\Bbb R$ sea una función suave. Sea $f(0,0,0) = 0$ . Dar una condición de suficiencia bajo la cual la ecuación diferencial $f(x,y,\dot{y})$ admite una solución que satisface la condición inicial $y(0) = 0$ en un barrio de $0$ .

Creo que debo utilizar el teorema de la función implícita, pero no sé cómo.

Answer 1

Tienes que juntar dos hechos:

• Teorema de la función implícita. Si $\partial f/\partial z$ es distinto de cero en $(0,0,0)$ entonces para una vecindad $U $ de $(0,0,0)$ el conjunto $U\cap \{(x,y,z) : f(x,y,z)=0\}$ puede escribirse como $U\cap \{(x,y,g(x,y)\}$ con un suave $g$ .

• Teorema de existencia-unicidad . El problema de la EDO $\dot y =g(x,y)$ , $y(0)=0$ tiene una solución única siempre que $g$ es suave en una vecindad de $(0,0)$ .

De hecho, la suavidad de $g$ implica las condiciones de continuidad y continuidad de Lipschitz en el teorema de existencia-unicidad.