Es $F(t)=\int_0^{\infty}\frac{\sin(tx)e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx$ ¿Bien definido?

Question

Tengo que ver si $$F(t)=\int_0^{\infty}\frac{\sin(tx)e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx$$ está bien definida cuando $t>0$ y cuando $t<0$ .

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Para ello, tengo que ver si $|F(t)|<\infty$ . He hecho lo siguiente

\begin{align} \lvert F(t) \rvert &= \bigg \lvert \int_0^{\infty}\frac{\sin(tx)e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx \bigg \rvert \\ &\le \int_0^{\infty} \bigg \lvert \frac{\sin(tx)e^{-x^2t}}{x^{3/2}} \bigg \rvert dx \\ &= \int_0^{\infty}\frac{\lvert \sin(tx) \rvert e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx \\ &= \int_0^{1}\frac{\lvert \sin(tx) \rvert e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx + \int_1^{\infty}\frac{\lvert \sin(tx) \rvert e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx \\ &\le \int_0^{1}\frac{te^{-x^2t}}{x^{1/2}}dx + \int_1^{\infty}\frac{e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx \end{align}

• En $t>0$ : La primera integral $$\int_0^{1}\frac{te^{-x^2t}}{x^{1/2}}dx \le t \int_0^{1}\frac{1}{x^{1/2}}dx=2t<\infty$$ (Puedo decir que es finito, ¿no?). ¿Pero la segunda?
• Y cuando $t<0$ ¿Qué podemos decir?

No sé cómo atarlos.

Answer 1

Como ya ha comentado @Chris Janjigian, $\Re(t) > 0$ es necesario.

Ahora, usando lo que escribiste es $$\lvert F(t) \rvert \leq \int_0^{1}\frac{te^{-x^2t}}{x^{1/2}}dx + \int_1^{\infty}\frac{e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx$$ $$I_1=\int_0^{1}\frac{te^{-x^2t}}{x^{1/2}}dx=\frac{1}{2} t^{3/4} \left(\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)-\Gamma \left(\frac{1}{4},t\right)\right)$$ Para la segunda, una integración por partes conduce a $$J=\int\frac{e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx=\frac{2 \left( t^{1/4} \sqrt{x}\, \Gamma \left(\frac{3}{4},t x^2\right)-e^{-t x^2}\right)}{\sqrt{x}}$$ $$I_2=\int_1^\infty\frac{e^{-x^2t}}{x^{3/2}}dx=2 e^{-t}-2 t^{1/4} \Gamma \left(\frac{3}{4},t\right)$$ $$\lvert F(t) \rvert \leq \frac{1}{2} t^{3/4} \left(\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{4},t\right)\right)+2 e^{-t}-2 t^{1/4} \Gamma \left(\frac{3}{4},t\right)$$