¿Esta prueba utiliza un enunciado tautológico?

Question

Estoy intentando comprender la demostración del teorema 24.1 del libro Analytical theory of continued fractions de H.S. Wall. El teorema establece que

Sea $\{f_p(z)\}$ sea una sucesión de funciones, analíticas en un dominio abierto simplemente conexo S que es uniformemente acotada sobre cada dominio cerrado enteramente dentro de S. Entonces existe una subsecuencia infinita de estas funciones que es uniformemente convergente sobre cada dominio cerrado finito enteramente dentro de S a una función límite que es analítica en S.

Entendí todo hasta el último párrafo de la prueba. He aquí un extracto del libro:

Creo que esta prueba es una afirmación tautológica. A saber, asumen que la cantidad $$ n(\epsilon/5,\zeta)\tag{1} $$ es finito.

Pregunta: ¿Es esto cierto $$ N=n(\epsilon,\zeta)? $$

En caso afirmativo, lo que han demostrado es una afirmación tautológica. $N=n(\epsilon,\zeta)\leq n(\epsilon/5,\zeta)\leq \infty$ Esto no significa que $n(\epsilon,\zeta)$ no puede ser infinita.

¿Me estoy perdiendo algo?

Si no conoce la respuesta a esta pregunta, ¿podría sugerir una fuente alternativa para la demostración del teorema anterior?

Answer 1

Está bien suponer que $n(\epsilon/5, \zeta)$ es finito, porque no puede ser infinito.

Nosotros $n(\epsilon, z)$ sea el menor número entero positivo tal que (24.3) se cumpla. Voy a suponer que en algún momento antes del extracto que has citado, se demuestra que la secuencia $F_p(z)$ converge a algún límite $F(z)$ puntualmente, y por tanto (24.3) debe cumplirse en algún número entero. El conjunto de todos los números enteros donde (24.3) se cumple tiene un elemento mínimo (finito).

Mientras tanto, $N$ no es necesariamente finito, porque $N$ se define como un límite: $$N = \lim_{p \to \infty} n(\epsilon, z_p).$$ Este límite podría ser infinito, incluso si cada $n(\epsilon, z_p)$ es finito. Sólo cuando demostremos que la secuencia $n(\epsilon, z_p)$ tiene un límite superior que podemos concluir que $N$ también debe ser finito.