¿Puedo eliminar ε de una desigualdad porque es arbitraria?

Question

Estoy mirando esta demostración (relativa a sumas e integrales inferiores/superiores) y cerca del final dice esto:

U(f) U(f,P) < L(f,P) + L(f) +

Y luego dice: "Como > 0 es arbitrario, debemos tener U(f) L(f)". No tengo ningún problema para entender el resto de la demostración, pero no entiendo cómo llegamos de la desigualdad anterior a U(f) L(f). ¿Puede alguien explicarme la razón por la que podemos eliminar y llegar a U(f) L(f)?

He añadido una foto de la prueba completa para que se entienda mejor mi pregunta.

Answer 1

Si tiene dos cantidades (reales) $A$ y $B$ tal que $$A\le B+\epsilon$$ para cada $\epsilon>0$ entonces debe tener $$A\le B$$ ya que de lo contrario ( $A>B$ ), puede encontrar algunos $\epsilon_0>0$ tal que $$A>B+\epsilon_0$$

(Por ejemplo, puede tomar $\epsilon_0=\frac{A-B}{2}$ .)

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En su ejemplo $A=U(f)$ y $B=L(f)$ .