Estoy estudiando este libro y no entiendo exactamente cuál es la diferencia entre el campo de funciones algebraicas $F/K$ y $F$ en sí mismo.
Gracias
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CGH
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La notación $F / K$ es simplemente una notación tradicional que indica que $F$ es una extensión de $K$, es decir, que $F$ contiene a $K$. Entonces, por ahora, puedes considerar $F / K$ como lo mismo que $F$, con la notación recordándote que $F$ contiene al subcampo $K.
Cuando empiezas a estudiar los mapas entre campos, entonces la distinción cobra más importancia. Un automorfismo de un campo $F$ es una mapa biyectiva $f : F \rightarrow F$ tal que $f(x+y) = f(x) + f(y)$ y $f(xy) = f(x)f(y)$. Un automorfismo de $F/K$ es un automorfismo $f$ de $F$ que actúa como la identidad en $K$, es decir, $f(x) = x$ para todo $x \in K. Por lo tanto, todos los automorfismos de $F/K$ son automorfismos de $F, pero no al revés.
Como ejemplo, hay infinitos automorfismos de $\mathbb{C}$ (aunque todos menos los dos mencionados abajo son "salvajes" y difíciles de describir), pero solo hay dos automorfismos de $\mathbb{C} / \mathbb{R}$, es decir, el mapa de identidad y el mapa de conjugación compleja.
