Acción propiamente discontinua: definiciones equivalentes

Question

Definamos una acción propiamente discontinua de un grupo $G$ en un espacio topológico $X$ como una acción tal que cada $x \in X$ tiene un barrio $U$ tal que $gU \cap U \neq \emptyset$ implica $g = e$ . Me gustaría demostrar que esta propiedad es equivalente a, habiendo dado $G$ la topología discreta y en la $X$ caso Hausdorff localmente compacto, el mapa $G \times X \rightarrow X \times X$ dada por $(g, x) \mapsto (x, gx)$ siendo propia (es decir, cerrada y preimagen de conjuntos compactos es compacta) más la acción siendo libre.

He conseguido demostrar una dirección, es decir, si la acción es correcta y libre con $G$ teniendo la topología discreta entonces es propiamente discontinua. Sin embargo, tengo problemas con la otra dirección. He aquí un intento: denotemos por $\rho : G \times X \rightarrow X \times X$ el mapa $\rho(g, x) = (x, gx)$ . Supongamos que $K \subset X \times X$ es compacto. Queremos demostrar $\rho^{-1}(K)$ es compacto. Sea $(g_i, x_i)$ sea una red en $\rho^{-1}(K)$ . Entonces $\rho(g_i, x_i) = (x_i, g_i x_i)$ admite una subred convergente, por lo que pasando a ella podemos suponer $x_i \rightarrow x$ y $g_i x_i \rightarrow y$ . Esencialmente ahora debemos encontrar una manera de probar $g_i$ converge, pero parece que no puedo hacer esto. ¿Alguna pista?

Answer 1

Estas propiedades no son equivalentes. He aquí un contraejemplo: Sea $X=\mathbb R^2\smallsetminus\{(0,0)\}$ y definir una acción de $\mathbb Z$ en $X$ por $n\cdot (x,y) = (2^n x, 2^{-n} y)$ . Esto es propiamente discontinuo según tu definición, pero no es una acción propiamente dicha. El subconjunto $K \times K \subseteq X\times X$ es compacto, donde $K = \{(x,y): \max(|x|,|y|)=1\}$ pero $\rho^{-1}(K\times K)$ contiene la secuencia $(n, (2^{-n},1))$ que no tiene subsecuencia convergente.

Creo que una de las razones de tu confusión es que distintos autores dan distintas definiciones de "propiamente discontinuo". Los topólogos que se ocupan principalmente de las acciones que determinan los mapas de cobertura suelen dar la definición que tú has dado:

(i) Cada $x \in X$ tiene un barrio $U$ tal que $gU \cap U \neq \emptyset$ implica $g = e$ .

Esto es necesario y suficiente para que el mapa cociente $X\to X/G$ sea un mapa de cobertura. Sin embargo, para que la acción sea adecuada (y, por tanto, para que el espacio cociente sea Hausdorff), se necesita una condición adicional:

(ii) Si $x,x'\in X$ no están en el mismo $G$ -órbita, entonces existen vecindades $U$ de $x$ y $U'$ de $x'$ tal que $gU\cap U' = \emptyset$ para todos $g\in G$ .

En $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y $G$ es un grupo discreto que actúa libremente sobre $X$ la acción es adecuada si y sólo si se cumplen las condiciones (i) y (ii). Los geómetras diferenciales, que suelen ocuparse de la formación de espacios cocientes que son variedades, son más propensos a definir "correctamente discontinua" en el sentido de que se cumplen tanto i) como ii).

Debido a esta ambigüedad (y a que el término "propiamente discontinuo" conduce a frases oximorónicas como "una acción continua propiamente discontinua"), Allen Hatcher en su Topología algebraica acuñó el término acción del espacio de cobertura para una acción que cumpla la condición (i). He adoptado esa terminología y utilizo acción libre y adecuada para una acción que satisfaga (i) y (ii) (al menos para espacios de Hausdorff localmente compactos). Espero sinceramente que el término adecuadamente discontinua acabará extinguiéndose.

Encontrará más información sobre estos temas en las segundas ediciones de mis libros Introducción a las variedades topológicas (capítulo 12) y Introducción a los colectores lisos (Capítulo 21).