Demuestre que la forma $w$ es cerrado pero no exacto

Question

Sea $$w~=~\dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy, \qquad (x,y)~\in\mathbb{R}^2\backslash \{(0,0)\}.$$

Demostrando que $w$ está cerrado es fácil. Basta con calcular $dw$ y obtendrás 0.

Pero ¿cómo puedo demostrar que $w$ ¿no es exacto?

En otras palabras, necesito probar que no hay forma $\lambda$ tal que $w=d \lambda$

¿Debo asumir que $w=d \lambda$ y tratar de llegar a una contradicción?

Answer 1

Creo que quizás una de las formas más esclarecedoras de ver esto es transformar $w$ a coordenadas polares. Dado que

$w = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}dx + \dfrac{x}{x^2 +y^2}dy, \tag{1}$

con

$x = r\cos \theta, \tag{2}$

$y = r\sin \theta, \tag{3}$

vemos inmediatamente que

$r^2 = x^2 + y^2, \tag{4}$

que conduce a

$w = -\dfrac{\sin \theta}{r} dx + \dfrac{\cos \theta}{r} dy; \tag{5}$

también tenemos, a partir de (2) y (3), que

$dx = (\cos \theta) dr - r(\sin \theta)d\theta, \tag{6}$

$dy = (\sin \theta) dr + r(\cos \theta)d \theta, \tag{7}$

e introduciendo (6) y (7) en (5) se obtiene, tras una pequeña maniobra algebraica,

$w = d\theta. \tag{8}$

Por supuesto, al realizar los cálculos anteriores, tenemos que recordar una pequeña cosa advertencia : debemos alejarnos del punto $(x, y) = 0$ es decir $r = 0$ donde de hecho $w$ ni siquiera está definido; estamos en "punto" de hecho operando en el plano perforado $\Bbb R^2 \setminus \{ 0 \}$ . Y aunque (8) da la impresión superficial de que $w$ es exacta, esto sólo aparece ya que $\theta$ no es definible como función sobre $\Bbb R^2 \setminus \{ 0\}$ . Esto, por supuesto, puede deducirse del hecho de que al recorrer una trayectoria circular centrada en el origen el valor si $\theta$ habrá aumentado en $2\pi$ cuando se vuelve a visitar por primera vez el punto de partida; de hecho, podemos expresar esta observación en forma integral calculando la integral de línea de $w = d\theta$ alrededor de un círculo de radio $R$ centrado en el origen. Sea entonces el círculo dado paramétricamente por $c(t) = (R\cos t, R \sin t)$ , $0 \le t \le 2 \pi$ tenemos

$\displaystyle \int_c w = \int_0^{2\pi} d\theta(c(t))(\dot c(t))dt$ $= \displaystyle \int_0^{2\pi} d\theta(c(t))((-R\sin t, R\cos t)^T)dt, \tag{9}$

y si combinamos (5) y (8) con la definición de $c(t)$ vemos que

$d\theta(c(t)) = -\dfrac{\sin t}{R} dx + \dfrac{\cos t}{R} dy, \tag{10}$

y así

$d\theta(c(t))(\dot c(t)) = \sin^2 t + \cos^2 t = 1, \tag{11}$

y la integral se convierte en

$\displaystyle \int_c w = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi. \tag{12}$

(12) muestra que: i.) $w = d\theta$ no es exacta en $\Bbb R^2 \setminus \{ 0 \}$ y ii.) $\theta$ no puede definirse realmente como una función sobre $\Bbb R^2 \setminus \{ 0 \}$ ya que obtenemos valores múltiples integrando $d\theta$ sobre una ruta como $c(t)$ . Pero supongo que el punto principal aquí es que $w$ no es exacta, y así se demuestra.

Espero que esto ayude. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!

Answer 2

El origen del monstruo: El análisis complejo. La función $$z\longmapsto\frac1z$$ es holomorfa en $\Bbb C\setminus\{0\}$ sin primitivo en $\Bbb C\setminus\{0\}$ . Integrando a lo largo de una trayectoria que rodea el cero: $$\int_{|z|=1}\frac1z\,dz=2\pi i.$$ El campo $w$ aparecerá al hacer los cálculos en esta integral de línea.

Answer 3

Si $w$ es exacta, su integral a lo largo de cualquier contorno $C$ debe ser igual a cero. Pero, trazando el campo vectorial $\mathbf{E}=(E_x,E_y)$ con $$E_x=-\frac{y}{x^2+y^2},\qquad E_y=\frac{x}{x^2+y^2},$$ obtendremos algo como esto:

y está claro que la integral $\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$ a lo largo de los círculos centrados en el origen no desaparece.

Answer 4

Sea $\alpha :[0,2\pi]\to \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ con $\alpha(t)=(cos(t),sin(t))$ . Obsérvese que $\alpha$ es una curva cerrada (es decir, $\alpha(0)=\alpha(2\pi)$ ). Por lo tanto, si $\omega$ es exacta, entonces $$ \int_{\alpha}\omega=0. $$ Pero $$ \int_{\alpha}\omega=\int_0^{2\pi}\omega(\alpha(t)).\alpha'(t)dt=\int_0^{2\pi}(-sin(t),cos(t)).(-sin(t),cos(t))dt=2\pi $$ Entonces $\omega$ no es exacta.

Answer 5

Otra opinión al respecto (aunque obviamente similar a las soluciones anteriores) es:

Tenga en cuenta que $\omega|_{\delta B_1(0)}=-ydx+xdy$ . pero esto ya es su propio Pullback sobre $\delta B_1(0)$ como puede comprobarse, por ejemplo, utilizando coordenadas polares.

Por lo tanto $\omega|_{\delta B_1(0)}=\iota_{\delta B_1(0)}^*(\omega)=-ydx+xdy$ .

Ahora, obviamente $-ydx+xdy\neq 0$ en $\delta B_1(0)$ porque si no $ydx=xdy$ lo que no puede ser porque $dx$ y $dy$ son linealmente independientes y en $\delta B_1(0)$ $x$ y $y$ no son cero al mismo tiempo.

Pero entonces $-ydx+xdy$ es una forma de grado superior que no desaparece en ninguna parte en $\delta B_1(0)$ y, por lo tanto $\int_{\delta B_1(0)} -ydx+xdy\neq 0$ . En realidad $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega$ puede considerarse que está a la altura de firmar la forma de volumen "canónica" de $\delta B_1(0)$ y por tanto no puede tener Integral 0, sino que tiene el volumen 1 de $\delta B_1(0)$ hasta firmar, como integral.

Pero si $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega$ fuera exacto se habría $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega=d\omega'$ para algunos $\omega'$ en $\delta B_1(0)$ porque $\delta B_1(0)$ es compacta y sin límites, el teorema de Stokes se aplica a $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega$ en $\delta B_1(0)$ cediendo:

$\int_{\delta B_1(0)}\iota_{\delta B_1(0)}^* \omega=\int_{\delta B_1(0)}d\omega'=\int_{\delta\delta B_1(0)=\emptyset}\omega'=0$ en contradicción con $\int_{\delta B_1(0)}\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega\neq 0$ como se ha establecido anteriormente.

Por lo tanto $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega$ No es exacto.

Pero ahora supongamos $\omega=d\omega''$ Así que $\omega$ exacta, entonces como los pullbacks conmutan con $d$ que tenemos:

$\iota_{\delta B_1(0)}^* \omega=\iota_{\delta B_1(0)}^* d\omega''=d\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega''=d\omega'$ para $\omega':=\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega''$ Así que $\iota_{\delta B_1(0)}^*\omega$ sería exacta después de todo, contradicción.

El resultado del argumento es: Cualquier forma diferencial cuyo Pullback a alguna submanifold compacta con dimensión positiva es una forma de grado superior no evanescente en la submanifold no es exacta debido a tal contradicción que implica stokes.