95% de energía de las funciones de Bessel

Question

¿Cómo podemos determinar qué amplitudes de la función de Bessel contienen la mayor parte de la energía? De forma similar a la regla del ancho de banda de Carson, quiero determinar qué bandas laterales contribuyen a constituir el 95% de la energía total.

Por ejemplo, una función de Bessel $J_n(x)$ tiene las siguientes amplitudes: (de n = 0 a n = 5)

$$0.895406$$ $$0.310493$$ $$0.051825$$ $$0.005714$$ $$0.000471$$ $$3.1e-5$$

Esperaba que la suma de estos fuera igual a 1 pero desgraciadamente no funciona así. Obviamente, en este caso, la banda portadora sería uno de los componentes principales, ¿cómo podría saber qué bandas laterales contribuyen al 95% de la energía? Además, en algunos casos, la banda portadora es más pequeña que las bandas laterales, ¿cómo lo haría en ese caso?

Por último, ¿qué ocurre en el caso de que una de las amplitudes sea negativa? Gracias.

Answer 1

Utilización de la Jacobi-Anger y algunas identidades trigonométricas, es posible expandir la ecuación que describe una onda FM de la siguiente forma: e = $A\sin(\omega_ct +\delta\sin(\omega_mt))$ en un producto de funciones de Bessel y diferencias de senos:

$e = J_0(\delta)A\sin(\omega_ct)) + J_1(\delta)A[\sin(\omega_c + \omega_m)t -\sin(\omega_c - \omega_m)t] + J_2(\delta)A[\sin(\omega_c + 2\omega_m)t -\sin(\omega_c - 2\omega_m)t]...$

Dónde $\omega_c$ es la frecuencia portadora, $\omega_m$ es la frecuencia de modulación, y $\delta$ es un parámetro denominado "coeficiente de desviación", definido como $\frac{\omega_d}{\omega_m}$ donde $\omega_d$ es la distancia que la frecuencia portadora "oscila" con respecto a su valor medio bajo modulación.

Así, el espectro de potencia de una onda FM tendrá los componentes de su amplitud determinados por la magnitud de $J_n(\delta)$ y las frecuencias a las que se producen estas líneas espectrales serán múltiplos de la frecuencia de modulación $\omega_m$ reflejado sobre el eje y definido por $\omega_c$ como se muestra aquí. Dado que se puede demostrar que $\sum_{n=-\infty}^\infty J_n^{2} = 1$ por el teorema de Parseval, esto implica que la potencia total de la señal modulada es la misma que la potencia de la portadora no modulada (a diferencia de la modulación de amplitud ordinaria).

Si he entendido bien su pregunta, básicamente está buscando una forma de averiguar cuántas bandas laterales necesita, en términos de múltiplos de $\omega_m$ para tener en cuenta el 95% de la energía contenida en la señal FM. Observando un gráfico para distintos valores de $\delta$ se observa que la densidad espectral varía de forma no lineal con el aumento de $\delta$ En términos cualitativos, la densidad espectral comienza concentrándose cerca de la frecuencia portadora, ya que $\delta$ la cantidad de energía concentrada en torno a la fundamental disminuye y los "picos" se producen en las bandas laterales más altas. La potencia de la señal es proporcional a $P = \frac{A^2}{2}$ por lo que para un A y un $\delta$ basta con calcular $[J_0^2(\delta) + \sum_{n=1} 2J_n^{2}(\delta)]*P$ y dejar de sumar y comprobar el valor de n cuando se pasa de $0.95*P$ .

Por supuesto, este enfoque sólo funciona para un único valor de $\delta$ . La fórmula que da la densidad espectral de potencia para un índice de modulación arbitrario es más complicada; no he leído la derivación. aquí pero parece prometedor.