Isomorfismo de encolado en categorías derivadas a lo largo del colímite filtrado

Question

Sea $X$ sea una pila algebraica de tipo localmente finito $X$ (pero siéntete libre de pretender que es un esquema) con una presentación como el colímite filtrado de subapilamientos abiertos de tipo finito $U_i$ . Por descendencia, a nivel de categorías estables derivadas de $\ell$ -tenemos $$D(X) = \varprojlim D(U_i).$$ Supongamos que tengo dos objetos $F, G \in D(X)$ e isomorfismos compatibles $\phi_i \colon F|_{U_i} \cong G|_{U_i}$ para cada $i$ . Mi esperanza es pegar estos $\phi_i$ en un isomorfismo global $\phi \colon F \cong G$ . Sé que pegar en categorías derivadas es notoriamente complicado; usar estables $(\infty-)$ categorías se tiene la presentación del límite anterior, pero para las cubiertas abiertas generales en principio habría que especificar también los datos de coherencia; en la práctica esto es tan complicado que nunca he visto que se haga en este sentido.

Sin embargo, la cubierta abierta en mi situación es particularmente simple; incluso podríamos suponer que $U_1 \subset U_2 \subset \ldots$ . No parece del todo descabellado que el $\phi_i$ son suficientes para pegar un isomorfismo global $\phi$ en este caso. ¿Hay alguna forma de hacerlo con rigor, o es una esperanza fundamentalmente errónea?

Estoy dispuesto a hacer algunas pequeñas suposiciones adicionales si es necesario para salvar la esperanza; por ejemplo, en mi situación de interés $F$ y $G$ será construible de forma acotada.

Answer 1

La esperanza es razonable si la cubierta abierta realmente está indexada por $\mathbb N$ . En efecto, dejar que $Spine(\mathbb N)$ denota el conjunto simplicial que puede representarse como $0\to 1\to 2\to ...$ (donde las únicas simplices no degeneradas son las que yo he dibujado, en particular no hay ninguna $1$ -simplex $0\to 2$ ), la inclusión $Spine(\mathbb N)\to \mathbb N$ es una equivalencia categórica.

Esto significa dos cosas: 1- Especificar un functor fuera de $\mathbb N$ basta con especificar los objetos $X_0,X_1,...,X_n,...$ y morfismos $X_0\to X_1, X_1\to X_2, ...$ ; 2- Para especificar un morfismo entre dos cosas semejantes, basta con especificar mapas $X_i\to Y_i$ así como cuadrados conmutables para enteros adyacentes, es decir $i$ y $i+1$ . La mayor coherencia es "automática" mientras no quieras imponerla.

En particular, para su $\phi$ en realidad sólo se necesitan isomorfismos compatibles $\phi_i$ y por "compatible", en realidad sólo quiero decir que debe proporcionar homotopías $(\phi_{i+1})_{\mid U_i}\simeq \phi_i$ . De hecho, si no quiere saber mucho sobre $\phi$ basta con prever $\phi_i$ 's con el conocimiento de que $(\phi_{i+1})_{\mid U_i}\simeq \phi_i$ . La diferencia entre "con homotopías" y "con el conocimiento de que hay homotopías" será simplemente que en este último caso, no se especificará una sola $\phi$ sino una clase de $\phi$ que se sabe que no son vacías, mientras que si se especifican las homotopías, se tendrá una $\phi$ .

Por supuesto, esto es muy específico de $\mathbb N$ y fallaría para la mayoría de los posets de indexación $I$ donde, efectivamente, hay coherencias superiores que, como usted ha dicho, a menudo hacen imposible este tipo de empresa.