Convergencia de una suma infinita de variables aleatorias.

Question

En un famoso libro, Econometría (A. Novales 2ª edición pág. 419) y al empezar a explicar Modelos Autorregresivos se dice que ".. una combinación lineal [infinita, una suma infinita] de variables aleatorias [aquí ɛ_t, ruido blanco] converge si y solo si lo hace su varianza" (supongo que se refiere a la varianza de esa suma). Supongo que es un teorema (quizás relacionado con Kolmogotov o ley de los grandes números pero no lo acabo de ver). Muchas gracias si alguien me puede ayudar. Salvador Comas Uriz

Answer 1

El resultado al que te refieres se conoce como el Teorema de Kolmogorov en la teoría de la convergencia de series de variables aleatorias. Este teorema establece que una suma infinita de variables aleatorias converge casi seguramente si y solo si la serie de las varianzas converge.

Formalmente, supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas ɛ_1, ɛ_2, ɛ_3,... con media cero y varianza finita σ^2. Entonces, la suma infinita S_n = ɛ_1 + ɛ_2 + ... + ɛ_n converge casi seguramente si y solo si la serie de las varianzas converge, es decir, si y solo si la serie Σ σ_i^2 converge.

La convergencia casi segura significa que la probabilidad de que la suma infinita S_n converja a un valor finito es igual a 1. Esto implica que la secuencia de sumas parciales S_n converge a un valor finito con probabilidad 1.

Este resultado es muy importante en la teoría del proceso estocástico y se utiliza en muchos contextos, incluyendo la teoría de los modelos autorregresivos como mencionaste.

Espero que esta información te sea útil. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.

Answer 2

Ya lo he encontrado, es el "Teorema de las dos series de Kolmogorov". Su detalle y demostración puede verse por ejemplo en la Wikipedia inglesa (no en la española): https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%27s_two-series_theorem Muchas gracias.