¿Cuáles son sus propias conjeturas?

Question

Antecedentes: Aunque este sitio se utiliza sobre todo para preguntas puntuales, muchos de las preguntas mejor valoradas (también en MathOverflow ), que reúnen mucha atención en el sitio son sobre listas informales. Así, en el tema de, pero en contraste con, preguntas anteriores como:

Problemas no especialmente famosos, abiertos desde hace tiempo y que cualquiera puede entender ,

Lista de problemas pendientes

Pregunta: ¿Cuáles son sus propias conjeturas?

Específicamente, estoy buscando conjeturas / problemas que

• Han tomado su interés especialmente (tal vez se hizo consciente a usted, y / o pocos otros),
• No especialmente de dominio público,
• Y que le parezcan novedosas (¡y se sienta cómodo compartiéndolas!).

Básicamente, problemas a los que vuelves y que a un matemático aburrido también le parecerían interesantes . Todos los campos son bienvenidos.

Nota 06/09/23: Permítanme ser claro para apaciguar @usuario1729 que estaba preocupado que la gente respondía en forma de " Yo soy genial porque I se le ocurrió cette conjetura asombrosa!", esto no es para autogratificarse, sino para compartir un problema que es personal para usted, por el bien de compartir no porque sea Atentamente .

Motivación: Por si no se ha dado cuenta, me gustan las matemáticas recreativas, pero todos mis problemas actuales me aburren o me han llevado a un callejón sin salida. Me gusta mirar los grandes problemas sin resolver (conocidos o no), pero a veces me gustaría tener una lista de pequeños problemas abiertos que sean igual de novedosos, pero no tan difíciles o desalentadores. Estoy seguro de que a otros les gustaría tener una lista así.

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Como muestra de buena fe (de que estoy realmente interesado en ver tus problemas de forma recreativa y no en cultivar puntos), esto es un Comunidad Wiki pregunta (para que los upvotes acumulados no inflen mi reputación, si la hay).

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Edita: Tras debatir las razones del cierre pasado en meta aquí Me he enterado de que algunos han interpretado esta pregunta para hacer hincapié en el hecho de que estas conjeturas son Atentamente No se trata de eso. Mi elección de palabras es más bien para enfatizar el hecho de que el universo de las matemáticas es tan amplio e intrincado, que imagino que muchas personas han tropezado con problemas en miniatura que otros no, y eso es para lo que me gustaría proporcionar este espacio. Nadie es "dueño" de las conjeturas, pero muchos han descubierto conjeturas que no se conocen más allá de ellos mismos. Este es el lugar para compartirlas.

Answer 1

Sea $A$ sea un entero libre de cubos tal que la curva elíptica $X^3+Y^3=AZ^3$ tiene rango $\gt0$ en $\mathbb Q$ (es decir, hay infinitas tripletas enteras $(X,Y,Z)$ en la curva).

Mi conjetura es que los únicos valores de $A$ para los que existen valores de $Z$ divisible por $A$ son $A=6,9$ y $12$ .

De ser cierta, esta conjetura tendría consecuencias muy importantes, en particular una demostración del Último Teorema de Fermat generalizada a exponentes distintos.

Las curvas $X^3+Y^3=AZ^3$ para $A=6,9,12$ tienen rango $1$ en $\mathbb Q$ y sus generadores son $P_6=(37,17,21)$ , $P_9=(2,1,1)$ y $P_{12}=(89,19,39)$ . Los puntos de menor altura para los que tenemos $A|Z$ son $2P_6,9P_9$ y $4P_{12}$ . Naturalmente, para calcular $nP$ para $X^3+Y^3=AZ^3$ es necesario conocer las fórmulas correspondientes a estas curvas, que difieren de las habituales para la forma de Weierstrass.

En mi libro, " Invitación al estudio de la aritmética de curvas elípticas " (septiembre, 1993) publiqué estos ejemplos "excepcionales" que me costó mucho encontrar y, por aquel entonces, no conocía ninguna conjetura de Paul Erdös que mis tres ejemplos demostraran. Dos años más tarde, en julio de 1995, en el volumen 27, número 4, páginas 317-318 del Boletín de la Sociedad Matemática de Londres se publicó un artículo de A. Nitaj en el que aparecían mis tres ejemplos como prueba. No digo que fuera un plagio, sino que intento decir que encontrar otros valores "excepcionales" de $A$ debe ser muy difícil, porque si no lo fuera, Nitaj habría expuesto otros ejemplos.

Answer 2

Conjetura: Si una regular $n$ -gon contiene un regular $m$ -gon, donde $n$ y $m$ son coprimos, sin lados coincidentes, el número máximo de puntos de contacto entre ellos es cuatro .

Pensé que esto sería bastante fácil de probar, pero aparentemente no lo es .

Answer 3

Mi conjetura es que todo grupo de orden $n!$ tiene un subgrupo de orden $n$ .

Answer 4

Tengo dos conjeturas que creo que deberían responderse en algún sitio, pero aún no he visto nada. Intuitivamente, me parecen ciertas y espero que lo sean.

Sea $M$ sea un espacio Hadamard. Es decir, $M$ es una variedad riemanniana completa, simplemente conexa y con curvatura no positiva. Sea $x_1,...,x_n \in M$ . Por último $A$ sea el casco cerrado geodésicamente convexo de $\{x_k\}$ .

1. ¿Es el límite de $A$ ¿la unión de segmentos geodésicos de longitud finita? Espero que se trate de cúspides de la frontera, pero yo estoy hablando de la parte lisa de la frontera. Supongo que sí, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Hay muy pocos artículos sobre los límites de cascos geodésicamente convexos en variedades.

2. Fijar $x \in A$ . ¿Existen pesos $w_1,...,w_n \geq 0$ con $w_1+...+w_n=1$ tal que $x = \arg \min_{y \in M} \sum_{k=1}^n w_k d^2(y,x_k)$ ? En otras palabras, ¿es cada $x \in A$ alguna media frechet ponderada de $\{x_k\}$ ? Supongo que sí. (Nota: lo contrario es cierto)

Answer 5

He aquí uno de los míos más recientes:

Para cada número entero $n > 1$ existe un número entero $k$ de forma que el más a la derecha $7$ en la expansión decimal de $3^k$ está en el $(10^n)$ de la posición.

Así, para $n = 4$ podemos tomar $k = 50$ porque $3^{50} = 717897987691852588770249$ tiene su extremo derecho $7$ en el $(10^4)$ de la posición.

Véase Secuencia OEIS 363196