¿Cuáles son sus propias conjeturas?

Question

Antecedentes: Aunque este sitio se utiliza sobre todo para preguntas puntuales, muchos de las preguntas mejor valoradas (también en MathOverflow ), que reúnen mucha atención en el sitio son sobre listas informales. Así, en el tema de, pero en contraste con, preguntas anteriores como:

Problemas no especialmente famosos, abiertos desde hace tiempo y que cualquiera puede entender ,

Lista de problemas pendientes

Pregunta: ¿Cuáles son sus propias conjeturas?

Específicamente, estoy buscando conjeturas / problemas que

• Han tomado su interés especialmente (tal vez se hizo consciente a usted, y / o pocos otros),
• No especialmente de dominio público,
• Y que le parezcan novedosas (¡y se sienta cómodo compartiéndolas!).

Básicamente, problemas a los que vuelves y que a un matemático aburrido también le parecerían interesantes . Todos los campos son bienvenidos.

Nota 06/09/23: Permítanme ser claro para apaciguar @usuario1729 que estaba preocupado que la gente respondía en forma de " Yo soy genial porque I se le ocurrió cette conjetura asombrosa!", esto no es para autogratificarse, sino para compartir un problema que es personal para usted, por el bien de compartir no porque sea Atentamente .

Motivación: Por si no se ha dado cuenta, me gustan las matemáticas recreativas, pero todos mis problemas actuales me aburren o me han llevado a un callejón sin salida. Me gusta mirar los grandes problemas sin resolver (conocidos o no), pero a veces me gustaría tener una lista de pequeños problemas abiertos que sean igual de novedosos, pero no tan difíciles o desalentadores. Estoy seguro de que a otros les gustaría tener una lista así.

---

Como muestra de buena fe (de que estoy realmente interesado en ver tus problemas de forma recreativa y no en cultivar puntos), esto es un Comunidad Wiki pregunta (para que los upvotes acumulados no inflen mi reputación, si la hay).

---

Edita: Tras debatir las razones del cierre pasado en meta aquí Me he enterado de que algunos han interpretado esta pregunta para hacer hincapié en el hecho de que estas conjeturas son Atentamente No se trata de eso. Mi elección de palabras es más bien para enfatizar el hecho de que el universo de las matemáticas es tan amplio e intrincado, que imagino que muchas personas han tropezado con problemas en miniatura que otros no, y eso es para lo que me gustaría proporcionar este espacio. Nadie es "dueño" de las conjeturas, pero muchos han descubierto conjeturas que no se conocen más allá de ellos mismos. Este es el lugar para compartirlas.

Answer 1

Mientras estaba en la universidad conjeturé que los números $2, 4, 8, 64$ y $2048$ son las únicas potencias de $2$ cuya base $10$ consiste únicamente en dígitos pares. Escribí un IBM- $360$ Ensamblador para buscar más; no encontró ninguno.

Answer 2

Mi conjetura más reciente es que $$f(n)=\sum_{j=1}^n j!^2=1!^2+2!^2+\cdots +n!^2$$ no tiene factor primo $p\le n$ para cualquier número entero positivo $n$ . Esto fue inspirado por un post sobre esta suma donde otro usuario conjeturó que $f(n)$ es libre de cuadrados para cada entero positivo $n$ que también parece ser el caso.

Answer 3

Tengo una conjetura sobre las álgebras de Lie y sus representaciones fieles mediante matrices. ¿Cómo de grandes hay que elegir las matrices para un álgebra de Lie dada de dimensión $n$ ? Por ejemplo, el álgebra de Lie de Heisenberg necesita $3\times 3$ matrices, y no servirán matrices más pequeñas.

Más formalmente, dejemos que $\mu(\mathfrak{g})$ sea la dimensión mínima de un fiel $\mathfrak{g}$ -módulo para $\mathfrak{g}$ . Por Teorema de Ado es un invariante de valor entero. Mi conjetura es la siguiente:

Conjetura: Sea $A(n)$ denotan el máximo de $\mu(\mathfrak{g})$ donde $\mathfrak{g}$ abarca todos los $n$ -de Lie. Entonces el crecimiento de $A(n)$ es exponencial.

Answer 4

Este fue el tema de mi tesis de máster, recientemente terminada, y que yo sepa nadie más lo ha estudiado (probablemente porque es un poco raro). La conjetura consiste esencialmente en que siempre es posible diseñar un concurso que cumpla ciertos requisitos y que siempre elija a un ganador sensato entre un grupo de personas.

Una competición en el sentido de la conjetura es esencialmente una red de clasificación ( https://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_network ) excepto que en lugar de ejecutarse en un orden lineal se ejecuta en un torneo ( https://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(teoría_gráfica) ) y en lugar de necesitar ordenar completamente los elementos, sólo necesita dar salida a un rey ( http://mathonline.wikidot.com/tournament-kings ).

Hay dos cuestiones que están estrechamente relacionadas, una es si se puede diseñar una competición si se sabe cuál será el torneo de entrada, y la otra es dónde en cambio hay que ser capaz de encontrar un rey en un torneo arbitrario de tamaño $n$ .

Resulta que si alguna de las dos cosas es siempre posible para todos los $n$ entonces la otra también es posible (una dirección es trivial y la otra se desprende de una de las principales conclusiones de mi tesis).

La razón por la que me interesé por este tema es porque me di cuenta de que muchos deportes tienen estructuras de torneo en las que se sabe desde el principio qué partidos se van a jugar, pero no quién va a jugar cada partido; el ejemplo más sencillo es un torneo por eliminatorias. Pero también me di cuenta de que los torneos eliminatorios no tienen por qué producir ganadores "sensatos" si la agrupación es mala y ganar no es transitivo.

La razón por la que utilizo rey en lugar de opciones más naturales como "la persona que gana más partidos" es que resulta que para grupos suficientemente grandes de personas no es posible crear torneos que elijan siempre un ganador sensato con esa definición, además rey es en cierto sentido formal la noción más débil de "ganador sensato".

Pude demostrar muchas cosas en mi tesina (los torneos que en cierto sentido no se pueden dividir en bloques más pequeños siempre tienen una competición que elige a un ganador sensato), pero actualmente no sé muy bien cómo ir más allá. Sé que esto ha sido bastante farragoso, pero me interesa mucho y me encantaría que se trabajara más en ello.

EDITAR : Debido a algunas personas que piden leer mi tesis he subido una copia ligeramente modificada a onedrive aquí https://1drv.ms/b/s!At9zHjetG0NvdrtyNyplvy8grz8?e=dA9APC Cabe señalar que no está bien redactado y carece de diagramas, por lo que su utilidad es limitada; tengo previsto reescribirlo en algún momento para que sea más presentable. Por lo que sé, no hay errores importantes (hay un pequeño error tipográfico en la primera línea de la página 18, que debería decir $\mathcal{C}$ en lugar de $\mathcal{B}$ ). Si quieres entender las pruebas, dibujar diagramas de casos sencillos ayuda mucho, pero la notación es muy confusa, así que, a menos que estés realmente interesado, no merece la pena. Por último, tenga en cuenta que la mayor parte de la sección $5$ esencialmente no está probada, ya que se basa en la alegación $58$ que no está probado.

Answer 5

Conjeturé que $41!$ es el mayor número factorial no pandigital. Hice una pregunta sobre esto aquí aunque yo ya había hecho la conjetura un par de años antes ( circa 2018).