Deje $f : \Bbb{C}\longrightarrow \Bbb{C}$ ser una analítica de la función que es demasiado valor real ! Para ser más exactos, De un infinito subconjunto $A$ $[0,1]$ tenemos $f(A)\subseteq \Bbb{R}$. ¿Esto significa que para cualquier $x\in \Bbb{R}$, $f(x)$ es real ?
Respuesta
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Sí. Desde $A$ es infinito en el espacio compacto $[0,1]$, hay una acumulación punto de $c$$A$. Yo afirmación de que la serie de Taylor acerca de los coeficientes de $c$ son reales. Si es cierto, entonces (desde $f$ es todo, su desarrollo en serie de Taylor alrededor de cualquier punto tiene una infinidad de radio de convergencia), $f$ es sin duda un valor real en todos los de $\mathbb{R}$.
$n = 0$. Desde $\mathbb{R}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, $f$ es continuo, $f(A) \subset \mathbb{R}$, e $c \in \overline{A}$,$f(c) \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$.
$n = 1$: Desde que se conoce la derivada existe, uno puede evaluar $f'(c) = \lim_{z \rightarrow c} \frac{f(z)-f(c)}{z-c}$ el uso de cualquier secuencia $\{z_n\}$ que converge a $c$. En particular, uno puede tomar la $z_n \in A$ todos los $n$, y esto demuestra que $f'(c) \in \mathbb{R}$.
$n =2$: Poner $c_0 = f(c)$. Ya sabemos que la aproximación lineal $f_1(z) = c_0 + c_1 (z-c)$ tiene coeficientes reales. Mirando un poder de expansión de la serie, se ve que
$f''(c) = 2! \lim_{z \rightarrow c} \frac{f(z) - f_1(z)}{(z-c)^2}$.
Desde $f_1(z)$ es un polinomio con coeficientes reales, es real en todos los de $\mathbb{R}$, así que una vez más la evaluación de la límite a través de una secuencia con valores en $A$ muestra que es real.
$n \geq 3$: De la misma manera, por inducción sabemos que el $n-1$st Taylor polinomio tiene coeficientes reales. Sustraen y calcular
$f^{(n)}(c) = n! \lim_{z \rightarrow c} \frac{f(z) - f^{(n-1)}(z)}{(z-c)^{n}}$
a lo largo de una secuencia en la $A$.
