Me he topado, en múltiples ocasiones, con casos en los que necesito cambiar el orden de la suma (usualmente de sumas finitas).
Un problema que vi fue simple $$ \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=i}^{\infty}f(i,j)=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{j}f(i,j) $$
y puedo pasar de la primera suma a la segunda observando que la restricciones son $$ 1\leq i\leq j<\infty $$ por lo que la primera suma doble no limita en $i$ y limita $j$ a $j\geq i$ . La segunda doble suma no pone ninguna restricción en $j$ pero limita $i$ en relación con $j$ $(1\leq i\leq j)$ .
Aunque este enfoque funciona para ejemplos sencillos como éste. Tengo problemas cuando los límites son más complicados.
El problema actual intercambia lo siguiente $$ \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=2}^{n-i+1}\to\sum_{k=2}^{n}\sum_{i=1}^{n+1-k} $$
Empecé escribiendo $$ k\leq n-i+1 $$
y consiguió $$ i\leq n-k+1 $$
pero todos los demás límites no están claros para mí ..
el problema es que no puedo utilizar esta técnica ya que no puedo escribir las desigualdades en la misma forma de $$ 1\leq i\leq f(j)\leq n $$
donde $n$ es algún límite (posiblemente $\infty$ ).
Mi pregunta es cómo abordar el segundo ejemplo mediante una técnica que debe ser capaz de manejar casos similares
