Verdadero o falso: Funciones continuas (Teorema del valor extremo)

Question

¿Le parecen apropiadas mis justificaciones?

a.) Cada función $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un máximo.

Verdadero; si $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ , $f$ será cerrado y acotado por arriba, por lo que tendrá un máximo.

b.) Toda función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un máximo.

Verdadero; si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces tendrá un mínimo y un máximo.

c.) Toda función continua $f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un máximo.

Falso; $f$ no está en un intervalo cerrado.

d.) Toda función continua $f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ tiene una imagen acotada.

Falso; si $f$ tiene una asíntota vertical en el $0$ la imagen no tendrá límites.

e.) Si la imagen de una función continua $f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ está acotada por debajo, entonces la función tiene un mínimo.

Falso; sólo si la inf $f(D)$ es un valor funcional.

Answer 1

Para la(s) parte(s) verdadera(s), puede que desee ser más preciso y referirse a resultados específicos. No puedo darte más detalles sin saber en qué clase estás (¿Cálculo 1? ¿Análisis real? ¿Topología?).

Su parte (a) es incorrecta porque $f$ no se supone que sea continua. Puedes inventar una función tan desagradable como quieras como contraejemplo.

Para las partes (c), (d) y (e), probablemente deberías escribir contraejemplos. Por ejemplo, en (c), anotas: " $f$ no está en un intervalo cerrado". Esto es hacerse la pregunta, porque eso es más o menos lo que se te pide que justifiques. Hay muchas funciones continuas en un intervalo abierto que son acotada, por lo que debe producir explícitamente una función en un intervalo abierto que sea no limitado.