Cómo evaluar el doble límite multifactorial $\lim\limits_{k\to\infty}\lim\limits_{n\to 0} \sqrt[n]{n\underbrace{!!!!\cdots!}_{k\,\text{times}}}$

Question

Definir la función multifactorial $$n!^{(k)}=n(n-k)(n-2k)\cdots$$ donde el producto se extiende al menor número entero positivo de $n$ modulo $k$ . En esta respuesta he deducido una de varias continuaciones analíticas de esta función a los números reales, que es la siguiente $$x!^{(k)}=k^{x/k}\Gamma\left(1+\frac xk\right)\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{ik^{-i/k}}{\Gamma(1+i/k)}\right)^{\sin(\pi(x-i))\cot(\pi(x-i)/k)/k}.$$ El límite del interés original $$F(k)=\lim_{x\to0}\,(x!^{(k)})^{1/x}=\left[\frac k{e^\gamma}\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{\Gamma(1+i/k)}{ik^{-i/k}}\right)^{\pi(-1)^i\cot\frac{\pi i}k}\right]^{1/k}$$ es una consecuencia directa del resultado anterior. Por curiosidad trazado $F(k)$ y parece que el doble límite $$m=\lim_{k\to\infty}\lim_{x\to0}\,(x!^{(k)})^{1/x}$$ convergiendo rápidamente hacia $0.852$ cuando $k\in(s-1/2,s+1/2)$ para todos los enteros Impares positivos $s$ pero converge mucho más lentamente al mismo valor cuando $k\in(s+1/2,s+3/2)$ .

Podemos reescribir el límite como \begin{align}m&=\lim_{k\to\infty}\exp\left(\frac{-\gamma+\log k+\pi\sum\limits_{i=1}^{k-1}(-1)^i\cot\frac{\pi i}k\log\left(\frac{\Gamma(1+i/k)}{ik^{-i/k}}\right)}k\right)\\&=\lim_{k\to\infty}\exp\left(\frac\pi k\sum\limits_{i=1}^{k-1}(-1)^i\cot\frac{\pi i}k\log\frac{\Gamma(1+i/k)}{ik^{-i/k}}\right)\\&=\exp\left(\lim_{k\to\infty}\frac\pi k\sum\limits_{i=1}^{k-1}(-1)^i\cot\frac{\pi i}k\log\frac{k^{i/k}\Gamma(i/k)}k\right)\end{align} utilizando L'Hopital en $(-\gamma+\log k)/k$ . El término dentro de la exponencial se parece mucho a una suma de Riemann, pero no estoy seguro de a dónde ir después de eso. Parece que ninguno de los términos en el logaritmo se puede dividir aditivamente para evaluar el límite como cada componente por sí mismo es divergente.

¿Existe una forma cerrada para este doble límite?

Answer 1

Propuesta :

$$\boxed{\;\ln m=-\gamma\ln2+\frac{\ln^22}{2}\;}$$

Explicación (esbozo de la prueba) para $i,k\to\infty$ tal que $i/k=x$ con $x>0$ la expresión bajo la suma $\sum_{i=1}^{k-1}$ tiende a $0$ y por lo tanto este rango de $i$ no contribuye al límite. Por tanto, podemos restringir el sumatorio a los valores con $i/k\ll 1$ . Expanda todo en $i/k$ : $$\cot\frac{\pi i }{k}\to \frac{k}{\pi i },\qquad \ln\frac{\Gamma(i/k)}{k}\to -\ln i,\qquad \ln k^{i/k}=i\frac{\ln k}{k}.$$ La tercera pieza no debe contribuir al límite $k\to\infty$ debido al factor de corte $\frac{\ln k}{k}$ . Los dos primeros producen la siguiente expresión en el exponencial: $$\sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1}\frac{\ln i}{i}=-\gamma\ln2+\frac{\ln^22}{2}.$$ Es cierto que quedan algunos detalles por completar para que lo anterior se convierta en una prueba rigurosa, pero lo dejo a disposición de quien esté interesado.