Distribución asintótica de variables aleatorias uniformes mínimas

Question

He estado trabajando en este problema durante un tiempo, y he hecho algunos progresos, pero todavía estoy atascado en algunas partes. ¡Tenía la esperanza de obtener alguna ayuda con esto!

Sea $M_n = \min(X_1, ..., X_n)$ donde $X_i$ son i.i.d Unif $(a,b)$ .

La primera parte consiste en hallar la distribución de $M_n$ . Esto fue bastante simple, y terminé obteniendo el CDF como:

$F_M(m) = 0$ para $m a \\$

$F_M(m) = 1 - \left[ 1 - \dfrac{m-a}{b-a}\right]^n$ para $m \in (a,b] \\$

$F_M(m) = 1$ para $x > b$

Ahora que se ha encontrado la FCD, el siguiente paso es encontrar la distribución asintótica de $P_n = n(M_n - a)$ . Esta es la parte en la que estoy atascado. Pensé en trabajar y encontrar la distribución de $P_n$ utilizando $Pr(P_n t)$ . Pero cuando hago esto, termino con el CDF de $P_n$ como $n \rightarrow \infty$ siendo 0 para todos los valores de $t$ lo cual sé que es incorrecto, ya que la siguiente parte de la pregunta se basa en el cálculo de intervalos de confianza. Entonces, la distribución asintótica para $P_n$ es necesario, y no debería ser 0.

Finalmente, una vez obtenida esa distribución asintótica de $P_n$ ¿Cómo puedo calcular un intervalo de confianza, dados unos valores específicos, por ejemplo? $b=3$ , $n=10$ y $M_n=1$ .

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que puede simplificar su problema estableciendo $a=0$ sin pérdida de generalidad, que se deshace de $a$ como parámetro.

Sea $z = nm$ entonces $m = z/n$ y, sustituyendo,

$$F_Z(z) = 1 -\left[1-{z \over nb}\right]^n$$

para $0 < z < nb$ .

Recordar nuestros límites, en concreto, el relativo a $(1-x/n)^n$ a $e^{-x}$ podemos escribir:

$$\lim_{n \to \infty}F_Z(z) = 1 - e^{-z/b}$$

que es la f.d.c. de una variable exponencial con media $b$ .

Una simple sustitución nos devuelve a tu problema:

$$\lim_{n \to \infty}F_{P_n}(p) = 1 - e^{-p/(b-a)}$$