Demostrando que el negativo de un número real es un número real usando la definición de Corte de Dedekind

Question

Define un número real como un subconjunto Q que cumple las siguientes cuatro propiedades:

1. x , si y Q y y < x, entonces y ;

2. Q;

3. no hay un elemento mayor en : x , y tal que y > x.

Dado un número real , define su negativo como el conjunto = {x Q : a Q \ tal que x < a}

Demuestra que es un número real (es decir, que cumple las cuatro propiedades anteriores)

Específicamente, tengo confusión sobre cómo se definió originalmente. ¿Se supone que el 'a' original debe ser positivo? ¿Por qué 'a' está contenido en Q \ ?

¡Ejemplos de cómo un número real cumple las cuatro propiedades también serían muy apreciados! Por ejemplo, en este caso, ¿es suficiente decir porque sabemos que contiene elementos menores que -a?

Answer 1

1. Supongamos $x\in -a$ y $y\in Q$ tal que $y < x$. Por definición de $-a$ existe $z\in Q\setminus a$ tal que $x < -z$. Pero entonces $y

2. Por la propiedad 3 y 1 de $a$ existe $y\in Q\setminus a$ tal que para todo $x\in a$ tenemos que $x < y$. De hecho, si no existe tal $y$, entonces $a=Q$. Tomemos ahora $z < -y$. Entonces $z\in a$ por definición de $-a$. Por lo tanto, $-a\neq\emptyset$.

3. Por la propiedad 2 de $a$ existe $y\in a$. Si $-y\in -a$ entonces existe $z\in Q\setminus a$ tal que $-y<-z$. Pero entonces $z

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Para responder tus otras preguntas:

No, el ejercicio no tiene nada que ver con ser positivo o negativo, solo con definir la opuesto de un número real y verificar que la definición tenga sentido, resultando en otro número real también.

La definición de $-a$ no tiene $a\in Q\setminus a$. Las dos a's tienen fuentes diferentes.

Ejemplo de un número real definido como un corte de Dedekind:

$a=\{x\in Q:\ x^2 <2\text{ o } x < 0\}$

Este es un ejemplo típico simple no trivial. Este es el modo de representar el número $\sqrt{2}$ (la raíz cuadrada positiva de $2$) utilizando el corte de Dedekind. Se puede observar que $0\in a$. Por lo tanto, $a\neq \emptyset$.

También $3\notin a$, ya que $3^2>2$ y $3>0$. Por lo tanto, $a\neq Q$.

Finalmente, si $x\in a$ y $y0$ pero entonces $y^2

Por lo tanto, $a$ es un número real, un corte de Dedekind.

Puedes comprobar que $-a=\{x\in Q:\ x^2<2\text{ o } x>0\}$