Si $H$ y $K$ son subgrupos de orden primo $p$ demuestre que $H = K$ o $H \cap K = \{1\}$

Question

Diga $G$ es un grupo y $p$ es un número primo. Si $H$ y $K$ son subgrupos de orden $p$ demuestre que $H = K$ o $H \cap K = \{1\}$

Yo pensaría en el Teorema de Lagrange. Si $H$ es un subgrupo de orden $p$ de grupo $G$ entonces $|H|$ divide $|G|$ . Si $|G|$ se divide por dos subgrupos con el mismo orden, entonces el resultado es el mismo. La condición en la que los subgrupos son iguales tiene sentido (en su mayor parte), pero la otra condición no tiene sentido.

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo se podría demostrar esto.

Edición: El grupo primo es cíclico. Grupo cíclico generado por un único elemento. Si los grupos no son iguales, $(H=K)$ ¿entonces el único elemento que tienen en común es el elemento identidad (en este caso 1)?

Answer 1

Supongamos que $H\neq K$ . Tenemos que $H\cap K$ es un subgrupo tanto de $H$ y $K$ . Por Lagrange, o bien $|H\cap K|=p$ o $|H\cap K|=1$ pero si es lo primero, entonces debemos tener $H=H\cap K=K$ una contradicción; por lo tanto $|H\cap K|=1$ lo que sólo puede ocurrir si $H\cap K=\{1\}$ .

Tenga en cuenta que $A\lor B$ es equivalente a $(\lnot A)\to B$ .

Answer 2

Utiliza la primalidad de $p$ y el teorema de Lagrange para concluir que para todo $h\in H $ tal que $h\neq 1$ tenemos $$ H=\{h^{0}, h^{1},h^{2},\ldots, h^{p-1}\}. $$ De forma totalmente análoga para todos $k\in K $ tal que $k \neq 1$ tenemos $$ K=\{k^{0}, k^{1},k^{2},\ldots, k^{p-1}\}. $$ Desde $H\cap K$ es un grupo, si $u\in H\cap K$ y $u\neq 1$ entonces $u^{0}, u^{1},u^{2},\ldots, u^{p-1}\in H\cap K$ y $|H\cap K|=p$ . Ahora,

• si $|K|=p$ , $|H\cap K|=p$ y $H\cap K\subset K$ entonces $H\cap K=K$ ,
• si $|H|=p$ , $|H\cap K|=p$ y $H\cap K\subset H$ entonces $H\cap K=H$ .

Por lo tanto, podemos concluir que $H=K$ .