Familia proyectivamente definible de conjuntos de reales

Question

¿Existe un modelo de teoría de conjuntos en el que:

1. Toda familia proyectivamente definible de conjuntos de reales tiene un miembro OD o proyectivamente definible;

2. Todo OD o conjunto de reales proyectivamente definible tiene la propiedad de Baire.

PD: Por familia proyectivamente definible de conjuntos de reales entiendo:

Existe una fórmula $\varphi(\Gamma)$ donde $\Gamma$ se supone que es un conjunto de (tuplas) de reales y $\mathcal{F}$ es la familia de conjuntos definida por: $$\Gamma \in \mathcal{F} \;{\rm iff} \; \varphi(\Gamma,a)$$ pero $\varphi(\Gamma,a) : Q_1 x_1 \dots Q_n x_n Q'_1 z_1 \dots Q'_m z_m \psi(x,z,a,\Gamma)$ con $x$ y $z$ reales y enteros respectivamente, y el $Q_i, Q'_j$ son cuantificadores $\in \{ \forall, \exists\}$ , $a$ son parámetros reales. $\psi$ es un $\Delta_0$ fórmula en las variables $x_i,z_n$ y $\Gamma$ .

$\varphi$ y $\psi$ son fórmulas en el lenguaje de la aritmética.

Tenga en cuenta que $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$ para ser precisos. Un ejemplo de $\varphi$ w $$\forall x \exists y (x,y) \in \Gamma \wedge [\forall z \forall t (((x,z) \in \Gamma) \wedge ((x,t) \in \Gamma)) \rightarrow z=t]$$ ( $\Gamma$ es una función, aquí $x,y,z,t$ se suponen números reales).

Tenga en cuenta que $\mathcal{F}$ puede tener cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ por lo que no podemos parametrizarlo por reales.

Answer 1

Permítanme ignorar la cuestión del OD por un momento, y sólo demostrar que siempre hay una familia proyectivamente definible de conjuntos de reales, con ningún miembro proyectivo. De hecho, existe una familia consistente en un único conjunto.

A saber $S$ sea la relación de satisfacción completa en los reales para la verdad proyectiva. Por lo tanto, $S$ está formado por todos los pares $(\varphi,x)$ donde $\varphi$ es un enunciado proyectivo y $\varphi(x)$ retenciones. El conjunto $S$ no es a su vez proyectivo, pues de lo contrario podríamos diagonalizar contra los conjuntos proyectivos formando el conjunto $\{ n\mid \neg\varphi(n,n)\}$ que tendría que ser proyectiva, pero no puede definirse mediante ninguna fórmula proyectiva.

Pero ahora la cuestión es que la familia singleton ${\cal F}=\{S\}$ es definible mediante una fórmula de su tipo, y por tanto es una familia de conjuntos de reales definible proyectivamente en el sentido de su pregunta. La definición de esta familia señala simplemente que $S$ es el único conjunto de pares que obedece a la definición tarskiana de verdad, de modo que obtiene la respuesta correcta en las fórmulas atómicas, y también hace lo correcto en las combinaciones booleanas y en los cuantificadores. Es decir, el conjunto $S$ presenta ciertas características internas -la definición tarskiana recursiva de verdad- y estas características son expresables cuantificando sólo sobre enteros y reales, siempre que también podamos referirnos a la pertenencia a $S$ en las expresiones.

Este ejemplo descarta la propiedad 1, si se pidiera un miembro proyectivo de la familia. Pero como la verdad proyectiva es definible ordinalmente, no descarta la afirmación 1 tal como está enunciada, y para esto tengo que pensar un poco más.

En cualquier caso, si $V=HOD$ entonces todo conjunto es OD, y por tanto cualquier modelo de $V=HOD$ satisfará la afirmación 1 en la versión definible ordinalmente.

Answer 2

Probablemente "modelo de teoría de conjuntos" quería decir "modelo de $\mathsf{ZFC}$ ", pero pensé que valdría la pena mencionar que si consideramos modelos de $\mathsf{ZF}$ entonces la respuesta es sí, siempre que para (1) estemos satisfechos con un miembro que sea $\text{OD}_a$ de verdad $a$ en lugar de $\text{OD}$ miembro, lo que claramente es esperar demasiado.

Sea $M$ sea un modelo de $\mathsf{ZF} + \mathsf{AD}^+$ por ejemplo $M = L(\mathbb{R})$ bajo el supuesto de que hay infinitos cardinales Woodin con un cardinal medible por encima de ellos. Sea $a$ sea un parámetro real, el teorema de la base de Woodin para $\Sigma^2_1(a)$ dice que cada $\Sigma^2_1(a)$ colección de conjuntos de reales tiene un $\Delta^2_1(a)$ miembro.

Esto es incluso más fuerte que el resultado deseado, porque por un lado toda propiedad proyectiva puede expresarse en una $\Sigma^2_1(a)$ para un verdadero $a$ y, por otro lado, cada $\Delta^2_1(a)$ es definible a partir de $a$ .

Además (2) se cumple en este modelo $M$ porque el Axioma de Determinación implica que cada conjunto tiene la propiedad de Baire.