Si $g \circ f$ es mónico, entonces $f$ es mónico

Question

Si $g \circ f$ es mónico, entonces $f$ es mónico. O, si $g \circ f \circ h = g \circ f \circ k \implies h = k$ entonces $ f \circ h = f \circ k \implies h=k$ .

No sé exactamente cómo demostrarlo. No sé cuáles son mis posibles acciones o manipulaciones para llegar de una afirmación a la otra. Dibujé un (desordenado) diagrama de conmutación (ni idea de cómo hacerlo en LaTeX), donde todo conmuta, pero no sé cómo convertirlo en una prueba.

El diagrama de conmutación tenía este aspecto: un cuadrado con h en la parte superior, k a la izquierda y $g\circ f$ abajo y a la derecha - este cuadrado conmuta por la suposición - luego añadí los triángulos de composición para cada $g\circ f$ identificando el codominio de f en el centro del cuadrado, haciendo que parezca un diagrama pushout. Esto hace un nuevo cuadrado con h en la parte superior, k a la izquierda, y f en la parte inferior y derecha, el diagrama conmutativo para un monomorfismo. Todo lo demás en el diagrama conmuta. Así que supongo que una segunda pregunta, ¿significa eso que el cuadrado conmuta? (Un diagrama conmuta si cada triángulo en él conmuta, ¿es cierto lo contrario?)

Answer 1

No necesitas dibujar ningún diagrama conmutativo para este problema (pero si alguna vez lo necesitas, puedes aprender rápidamente a dibujar diagramas muy complicados utilizando XYpic (funciona con Latex y/o Lyx)).

Dado que $g\circ f$ es mónico demostramos que $f$ es mónico. Supongamos que $f\circ h = f\circ k$ retenciones. La afirmación seguirá mostrando que $h=k$ . Aplicar $g$ a la izquierda de la igualdad $f\circ h = f\circ k$ para obtener $g\circ (f\circ h)= g\circ (f\circ k)$ . Utilizando la asociatividad de la composición obtenemos $(g\circ f)\circ h = (g\circ f)\circ k$ . Pero.., $g\circ f$ es mónico (es decir, anulable por la izquierda) y por tanto $h=k$ .

Answer 2

No hace falta un diagrama conmutativo para demostrarlo:

Utilizando el hecho de que $g\circ f$ es mónico, demostramos que $f$ es mónico.

Supongamos que $$f\circ h = f\circ k\tag{1}$$

Componga $g$ a la izquierda con cada uno de $f\circ h, f\circ k$ en la ecuación $(1)$ :

$$g\circ (f\circ h)= g\circ (f\circ k).\tag{2}$$

Por asociatividad de la composición, $(2)$ es equivalente a

$$(g\circ f)\circ h = (g\circ f)\circ k.\tag{3}$$

Pero se nos da $g\circ f$ es mónico, por lo que de $(3)$ tenemos que $$ h=k\tag{4}$$

Por lo tanto, hemos demostrado que $$f\circ h = f\circ k \implies h = k$$

y así, $f$ es mónico.

Answer 3

Creo que un diadrama habría dicho todo eso y habría ahorrado mucho espacio, y mucho tiempo. Pero estoy seguro de que te sientes más inteligente por ello. Algunas personas aprenden de formas diferentes. Si sabes algo, tu objetivo es comunicarlo de una manera clara y concisa, la elagancia no es un requisito previo para la comprensión. El requisito de que f sea mónico es exactamente que gf sea mónico ya que ambas flechas f y gf son un requisito para el morfismo universal g, en particular f y gf son ambos coigualadores de cualquier par paralelo de flechas iguales en el dominio de f, lo cual es inmediato a partir del diagrama. No se necesita álgebra para resolver este problema, sólo un diagrama y la comprensión de las propiedades de los mapas universales. El 99% de la prueba está en tu cabeza. Y para responder a su pregunta original el diagrama es equivalente al diagrama de un co-igualador con f y gf son los dos co-igualadores y g el límite de f y gf.