Cómo integrar $e^{-x^{2}}$ ?
Cuando utilicé geogebra obtuve la respuesta como $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\operatorname{erf}(x)$ . ¿Qué es el $\operatorname{erf}(x)$ ?
¿Cómo llegar a esta respuesta?
Respuestas
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Ian Miller
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Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales como polinomios, trigonométricas, exponenciales o logaritmos. Sin embargo, es una integral muy importante, por lo que los matemáticos se inventaron una respuesta y le dieron un nuevo nombre - $\operatorname{erf}(x)$ . La definición de $\operatorname{erf}(x)$ se basa, por tanto, en la integral. Su nombre completo es Función de error . Es frecuente en estadística/probabilidad y en la resolución de ecuaciones diferenciales.
core_pro
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La integral de $e^{-x^2}$ o $\int e^{-x^2}dx$ no puede expresarse mediante funciones elementales. Por lo tanto, creamos nuevas funciones para expresarlo.
$\operatorname{erf} (x) $ es el función de error definido como $\operatorname{erf}(z)= \frac {2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{-t^2} dt$
Si $E(x)=\int e^{-x^2}dx$ , $$\operatorname{erf}(x)= \frac {2}{\sqrt{\pi}} (E(x)-E(0)) \\ E(x)=\int e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf}(x)+E(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf}(x)+ C$$
(El valor de $E(0)$ es arbitraria, por lo que puede reescribirse como una constante, $C$ ). Espero que le sirva de ayuda.
aldorado
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No se puede encontrar la antiderivada de $e^{-x^2}$ en términos de funciones elementales, pero curiosamente se puede calcular la integral sobre $\mathbb{R}$ . El truco habitual para calcular $$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$$ es la siguiente. Escribe
$$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy = \int_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2 -y^2} dx dy. $$ Ahora convertir a coordenadas polares, $x = r \cos \theta$ , $y = r \sin \theta$ . Entonces $dxdy$ se convierte en $$dx dy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r, \theta)}\right| dr d\theta = r dr d\theta.$$ Así que $$I^2 = \int_{\mathbb{R}^2}r e^{-r^2} dr d\theta = 2\pi \int_0^{\infty} r e^{-r^2} dr = 2\pi \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]^{\infty}_0 = \pi.$$ Así que $I = \sqrt{\pi}.$
