Prueba de la densidad cero de la función Zeta de Riemann

Question

Actualmente estoy intentando comprender la demostración del teorema de densidad cero más simple para $\zeta$ existe, a saber $$N(T+1)-N(T-1) \ll \log(T),$$ donde $T>2$ y $N(T) = \#\{\rho \in \mathcal N : |\Im(\rho)| < T \}$ con $\mathcal N$ el conjunto de ceros no triviales de $\zeta$ . Hasta ahora he consultado tres libros de teoría analítica de números (de Brüdern, Vaugan y Tenenbaum) y en los tres la demostración es (más o menos) la misma: Utilizamos la fórmula de Jensen para obtener $$\int_0^1 \log | \zeta(2+iT+re(\theta))| d\theta = \log|\zeta(2+iT)| + \sum_{\rho \in \mathcal N \text{ and } |\rho - (2+iT)| < r} \log \left(\frac r {|\rho-(2+iT)|} \right)$$ para algunos $r \in [3,4]$ y $e(\theta) = \text{e}^{2\pi i \theta}$ . En esta fórmula, es relativamente fácil ver que la suma del lado derecho es $\approx N(T+1)-N(T-1)$ . Hasta aquí todo bien. Ahora se afirma que un límite de la forma $$\zeta(\sigma + it) \ll t^k$$ para $t>1$ , $\sigma \in \mathbb R$ y algunos $k$ del tamaño de ajuste implica el límite $$\log|\zeta(s)| \ll \log |t|.$$ Tenenbaum incluso menciona explícitamente el límite $$\log |\xi(s)| \ll |s|\log|s| \text{ (as |s| }\rightarrow \infty \text{ for }\Re s \geq \tfrac 12) $$ para la función completa Riemann-Zeta en su libro Introducción a la teoría analítica y probabilística de números como Fórmula (41) en la página 152. Está claro que estos límites implican el resultado deseado.

Podría estar de acuerdo con los autores si enunciaran (y utilizaran) estos límites como $\log |\zeta(s)| \leq O(\log |s|)$ pero, en general, estos límites son claramente erróneos (¡siempre que no lo haya perdido del todo!). $\zeta$ (y $\xi$ ) tienen ceros con una parte imaginaria arbitrariamente grande, y $\log |\zeta|$ ( $\log |\xi|$ resp.) tiene que ser grande cerca de aquellos.

¿Me estoy perdiendo algo? Es muy posible que yo esté malinterpretando algunas anotaciones aquí, es difícil creer que los tres (o incluso uno) de estos autores hayan publicado esto sin pensar en mi problema.

Answer 1

Copio el comentario de Conrad para que más gente vea el método:

Para $T$ grande y $r=3$

La fórmula de Jensen da $$\int_0^1 \log | \zeta(2+iT+re^{2i\pi \theta})| d\theta = \log|\zeta(2+iT)| + \sum_{\zeta(\rho)=0, |\rho - (2+iT)| < r} \log \left(\frac r {|\rho-(2+iT)|} \right)$$ El RHS es $\ge a(N(T+1)-N(T))$ y es $$\le \int_0^1\max(0, \log | \zeta(2+iT+re^{2i\pi \theta})|) d\theta=\int_0^1 O(\log(T^3))d\theta=O(\log T)$$ donde $\zeta(2+iT+re^{2i\pi \theta})=O(T^3)$ se deduce de $\zeta(s)=\frac{s}{s-1}+s\int_1^\infty(\lfloor x\rfloor-x)x^{-s-1}dx$ y decir la ecuación funcional.

Answer 2

Se deduce de

$$ |\zeta^2(2)\zeta^4(2+iT)\zeta(2+2iT)|\ge1 $$

y $|\zeta(2+it)|\le\zeta(2)$ para todos $t\in\mathbb R$ que

$$ 1/\zeta(2+iT)=\mathcal O(1) $$

Esto implica que $-\log\zeta(2+iT)$ tiene límites superior e inferior.

En consecuencia, por la desigualdad de Jensen el número de raíces dentro de la región $|s-2-iT|\le r<R$ está limitada por encima por

$$ n(r)\le{\max_{|z|=R}|\log\zeta(2+iT+z)|-\log\zeta(2+iT)\over R/r} $$

Ahora, se deduce del libro de Titchmarsh sobre la zeta de Riemann, que tenemos $\log\zeta(2+iT+z)\ll\log T$ . Elegir bien $R$ y $r$ deducimos

$$ N(T+1)-N(T-1)\ll\log T $$