Clasificación de las estructuras casi complejas (casi) domadas por una forma cuadrática

Question

Preámbulo

Actualmente me ocupo de las estructuras casi complejas asociadas a una forma cuadrática no degenerada. En particular, me interesa el tamaño de las estructuras casi complejas como espacio homogéneo (si no, como espacio topológico) que es "compatible" con la forma cuadrática $Q$ . Para simplificar, suponemos que el espacio base es $\mathbb{R}^{2n}$ asociada a una forma cuadrática $Q$ de firma $(+1, +1, ..., -1, -1)$ ( $p$ firmas positivas y $q$ firmas negativas).

Pregunta clave

Cuántas estructuras casi complejas $J\in GL_{2n}(\mathbb{R})$ satisfacer $J^TQJ=Q$ (donde $\cdot^T$ denota transposición)? Además, cuando $\omega$ es una forma simpléctica, ¿cuántas estructuras casi complejas que $K^T\omega K=\omega$ .

Progreso actual

En $J$ es una de esas estructuras casi complejas, $J^TQJ=Q\iff QJ$ es una forma simpléctica. Así que también es encontrar cuántos $J$ que hacen $QJ$ una forma simpléctica.

En cuanto a la segunda parte de este problema, este problema está bien estudiado cuando impusimos la restricción de que $QJK$ es definida positiva. El lector puede consultar el capítulo II de Curvas holomorfas en geometría simpléctica por Michele Audin y Jacques Lafontaine. Sin embargo, cuando se levante esta restricción, no sé cómo abordar este problema.

Answer 1

En primer lugar, obsérvese que si una forma cuadrática bilineal no degenerada es compatible con una estructura compleja, entonces los componentes $(p, q)$ de la firma deben ser ambas pares, por lo que escribiremos $p = 2 p'$ , $q = 2 q'$ .

Ahora, el grupo ortogonal especial $SO(Q) \cong SO(2p', 2q')$ de transformaciones ortogonales preservadoras de la orientación que preservan una forma cuadrática $Q$ en $\Bbb R^{2n}$ actúa transitivamente sobre el conjunto $C$ de estructuras complejas $J$ compatible con $Q$ (esto se puede demostrar fácilmente eligiendo, para dos estructuras complejas cualesquiera $J, K$ bases de $\Bbb R^{2n}$ adaptados de forma similar a $(Q, J)$ y $(Q, K)$ ).

Ahora, si elegimos una estructura compleja compatible $J$ y escribirlo en una base conveniente, es fácil calcular explícitamente el subgrupo de $SO(Q)$ que conserva $J$ llamada grupo unitario y normalmente denotamos este grupo $U(p' , q')$ . (También es un ejercicio estándar demostrar que $\dim U(p', q') = n^2$ .) Así pues, el espacio homogéneo de estructuras complejas compatibles con $Q$ es $$SO(2p, 2q) / U(p, q),$$ que tiene dimensión $$\dim SO(2n) - \dim U(n) = \frac{1}{2}(2n)(2n - 1) - n^2 = n (n - 1).$$ No se trata sólo de un espacio homogéneo, sino de un espacio simétrico (esta serie de espacios se denomina tipo DIII ); es compacta si $Q$ es definitivo.