La idea detrás de la suma de potencias de 2

Question

Sé que la suma de la potencia de $2$ es $2^{n+1}-1$ y conozco la prueba de inducción matemática. Pero ¿alguien sabe cómo $2^{n+1}-1$ aparece en primer lugar.

Por ejemplo, la suma de n números es $\frac{n(n+1)}{2}$ . La idea es que replicamos el conjunto y lo ponemos en un rectángulo, de ahí que podamos hacer el truco. ¿Cuál es la lógica de la suma de potencias de $2$ ¿Fórmula?

Answer 1

$(2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots 2^k) = S$

Ahora multiplica $S$ por $(2^1 - 2^0) = 1$

Los términos medios se anulan, dejándole con $2^k+1 - 1$ .