¿Existe una interpretación geométrica de la función exponencial de los números reales?

Question

Puedo visualizar la función exponencial con la gráfica $y = e^x$ pero puedo hacerlo para casi cualquier función.

Además de su gráfico, la función $f(x) = x^n$ puede visualizarse como el volumen de una caja con lados de longitud $x$ en un espacio n-dimensional, y las funciones trigonométricas pueden interpretarse como longitudes de los lados de ciertos triángulos rectos.

¿Existe una interpretación geométrica similar de la función exponencial?

Answer 1

Esta respuesta no se refiere a $e^x$ sino sobre el estrechamente relacionado hiperbólica funciones $$ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. $$ Un poco de álgebra muestra que $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ . Así, $(\cosh x,\sinh x)$ son puntos de la hipérbola $x^2-y^2=1$ Entonces $\cosh x$ y $\sinh x$ son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento que une el origen y el punto de coordenadas $(\cosh x,\sinh x)$ .

Una interpretación diferente es la siguiente: Imagina que huyes de algún punto fijo $O$ . Si su velocidad en cada momento es igual a la distancia al punto $O$ entonces su velocidad será $C\,e^x$ para alguna constante $C>0$ .

Answer 2

Hay una interpretación geométrica del logaritmo natural. A partir de la definición

$$ \log x = \int_1^x {1 \over t} \: dt $$

vemos que el área entre la hipérbola "estándar" $xy = 1$ y el eje horizontal entre $1$ y $x$ es $\log x$ .

Así que, dándole la vuelta a esto, la línea $x = e^t$ es la línea vertical tal que el área entre $x = 1$ y $x = e^t$ entre esta hipérbola y la $x$ -eje, es $t$ .

Answer 3

Si lo que buscas es una forma visual de entenderlo, aunque una interpretación geométrica podría ser útil, la forma más intuitiva de entender $e^x$ para mí eran cosas como la dinámica de la población.

Si alguna vez ha escuchado la frase "crecimiento exponencial" en relación con una población de algo (bacterias, peces, vida silvestre, etc.), se refiere a la idea de que cada cambio en la población es linealmente proporcional a la población en el último paso de tiempo, suponiendo que ninguna influencia externa obstaculice o altere la dinámica de la población.

Surge de lo que creo que es probablemente la ecuación diferencial ordinaria no trivial más sencilla que existe:

$y'(t) = y(t)$

Es decir, existe alguna función $y(t)$ tal que $y(t)$ es la misma función que su primera derivada (hasta una constante). La única función que satisface este criterio es $e^x$ .

La implicación puede no ser inmediatamente obvia, así que espero que perdone el ejemplo.

Si una población de peces se describe con precisión mediante $y$ Entonces, cuanto más grande sea mi población de peces, más rápido crecerá la población, de forma exponencial. En cada iteración, suponiendo un promedio fijo de desove por pez, los nuevos peces añadidos a la población serán un porcentaje del tamaño de la población actual, y como la población crece en cada ronda, entonces el aumentar y el población ambos crecen más o menos al mismo ritmo.

Lo mismo ocurre con las inversiones financieras que se basan estrictamente en un tipo de interés fijo.

Por supuesto, se trata de modelos simplistas. Las poblaciones de peces no crecen realmente de forma exponencial y las inversiones financieras no producen realmente un crecimiento exponencial.

-Brian