Convergencia de una serie con senos repetidas

Question

Mostrar que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\big(\sin(n)\big)}{n}, $$ converge.

Más en general, muestran que por cada $k\in\mathbb N$ la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_k(n)}{n}, $$ converge, donde $\sigma_1(x)=\sin(x)$ y $\sigma_{k+1}(x)=\sin\big(\sigma_k(x)\big)$.

Nota. Estoy buscando una escuela primaria de la prueba, si está disponible. Yo no sé que tan elementales prueba existe, por $k=2$, ya que el caso fue el examen de calificación (Universidad de Adelaide) hace un par de años. Por otro lado, sé de una que no elementary prueba (por $k$ general), utilizando el trivial hecho de que $\dfrac{1}{2\pi}$ ha finito irracionalidad de la medida. Me imagino que cualquier prueba que tendría como primer paso, establecer el hecho de que la secuencia de $$ \sum_{j=1}^n \sigma_k(j), \quad n\in\mathbb N, $$ está acotada.

La actualización. En realidad, el uso de herramientas avanzadas (es decir, la irracionalidad de la medida), resulta que incluso $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_k(n)}{n^a}, $$ converge, por cada $a>0$, y $k\in\mathbb N$, mientras que de las mismas herramientas que no se puede determinar si $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\big(\sin(\beta n)\big)}{n^a}, $$ converge, por cada $\beta$.

Answer 1

Para probar la convergencia es suficiente para mostrar que $$\left|\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(kn)}{n}\right|= \left|\frac{\pi-k}{2}+\pi \left\lfloor\frac{k}{2\pi}\right\rfloor\right| < \frac{\pi}{2} \etiqueta{1}$$ con respecto a la LHS, como la parte imaginaria de una serie geométrica y aplicando el lema de Abel.

Entonces tenemos que los coeficientes de Fourier de $\sin(\sin x)$ caries bastante rápido ya que $\sin(\sin x)\in C^3([-\pi,\pi])$. Si se nos permite escribir $\sin(\sin x)$ como su serie de Fourier y para cambiar las sumas (esto es fundamental) tenemos: $$\left|\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(\sin n)}{n}\right|\leq K\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\pi}{k^2},$$ para istance. Estoy esperando que el mismo es de $\sigma_k(x)$, ya que, en general, si $f(x)$ es una extraña función periódica pertenecientes a $C^{3}(\mathbb{R})$ y nos permite cambiar sumas, $$\sum_{n=1}\frac{f(n)}{n}$$ converge porque el $k$-ésimo coeficiente de Fourier de $f(x)$ es $o(k^{-2})$ y $(1)$ de bodegas.

Mediante el uso de funciones de Bessel, podemos escribir: $$\sin(\sin n)=\sum_{k=0}^{+\infty}2\cdot J_{2k+1}(1)\sin((2k+1) n,\etiqueta{2}$$ donde la convergencia es uniforme, pero ahora tenemos que justificar la suma interruptor de procedimiento. Esto es más o menos la misma como la demostración de que las sumas parciales de $\sin(\sin n)$ son acotados. La explotación de $(2)$ obtenemos: $$\sum_{n=0}^{N}\sin(\sin n)\leq\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2\cdot J_{2k+1}(1)}{|\el pecado(k+1/2)|},$$ y hemos de probar que la CARTA es acotada. Si definimos $\|x\|$ como la distancia entre $x$ y el entero más cercano, tenemos: $$\sum_{k=0}^{K}\frac{2\cdot J_{2k+1}(1)}{|\el pecado(k+1/2)|}\leq \sum_{k=0}^{K}\frac{1}{4^k(2k+1)!\cdot|\sin(k+1/2)|}\leq \sum_{k=0}^{K}\frac{1}{2^{2k+1}(2k+1)!\cdot\left|\frac{2k+1}{2\pi}\right|},$$ así, con el fin de demostrar que las sumas parciales de $\sin(\sin n)$ son acotados, es suficiente para probar que existe un número positivo $C$ que $$ \left|\frac{2k+1}{2\pi}\right|\geq\frac{C}{(2k+1)!},\la etiqueta{3} $$ tiene por cada $k$. Esto es mucho más débil que la que requieren los $2\pi$ tiene un número finito de la irracionalidad de la medida: si los términos de la continuidad de la fracción de $2\pi$ no crecer demasiado rápido, ya que $$\frac{1}{(a_n+1)q_n^2}<\frac{1}{q_{n}(q_{n+1}+q_{n})}<\left|2\pi\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{q_n q_{n+1}}<\frac{1}{q_n^2}, $$ es válido para cada convergente $\frac{p_n}{q_n}$ de $2\pi=[a_0;a_1,a_2,\ldots]$, $(3)$ se sigue del teorema de Legendre.

Answer 2

Si $f(x)$ es una extraña función continua con intervalo $[-a,a]$ y $f(x) \leq |x|$, entonces $f^k(x)$ tiene la misma propiedad de la totalidad de los $k \geq 1$.

Si una secuencia de $a_n$ tiene un simétrico (incluso) la distribución de la frecuencia medida en el intervalo $[-a,a]$, entonces $f^k(a_n)$ tiene la misma propiedad.

Sobre esta base, y teniendo $a_n$ a ser el valor de $(n \mod 2\pi)$ en $(-\pi,\pi)$, por Abel suma de $\sum \frac{f^k(a_n)}{n}$ converge si $s_n = f^k(a_1) + \dots + f^k(a_n)$ es $O(n^c)$ para $c < 1$. La distribución uniforme de módulo $1$ da sólo $s_n = o(n)$, que es un épsilon menos de lo que necesitamos.

La diferencia de $d_n = |\frac{s_n}{n} - \int_{-\pi}^{\pi} f^k(x) dx|$ converge a $0$ por una distribución uniforme (aplicado a $f^k \circ g$ de $g$ que re-coordinatizates el intervalo de hacer la distribución uniforme). Por $f^k$ de variación acotada, estamos pidiendo un caso especial de la discrepancia problema para la secuencia de $a_n$ : ¿hay un límite de $d_n = O(n^{-u})$ para $u > 0$?

Este poder-de-$$ n mejora de la convergencia es cierto para cualquier secuencia positiva con la irracionalidad de la medida. Tal vez un martillo, pero muestra que el problema no se necesita ninguna propiedad especial de $f(x)=\sin x$, excepto que $f^k$ ha delimitado la variación (que tiene si $f'$ existe y es continua).

Answer 3

Podría estar totalmente equivocado, pero me parece que el análisis en el libro de Bruijn, p. 157 (véase, especialmente, un par de páginas, como p. 159, donde se discute la dependencia de $ $x) parece indicar que la serie sería divergen para $k grande, $ menos.