¿Por qué existen todos los sólidos platónicos?

Question

En tres dimensiones es bastante fácil demostrar que existen como máximo cinco sólidos platónicos. Cada uno tiene que tener al menos tres polígonos que se encuentren en cada vértice, y los ángulos de estos polígonos tienen que sumar menos que $2\pi$ . Esto reduce las posibilidades a tres, cuatro o cinco triángulos, tres cuadrados o tres pentágonos.

Pero la prueba no es completa. También hay que demostrar que cada una de estas posibilidades se cumple. Por supuesto, resulta que todas se cumplen. Me he estado preguntando cómo demostrarlo sin tener que construir cada una de ellas individualmente. Después de leer esta respuesta he conseguido reconstruir la siguiente prueba. Me pregunto si es válida.

Supongamos que queremos un poliedro en el que $m$ $n$ - Tomemos una esfera cualquiera. Por Gauss-Bonnet podemos dibujar un regular $n$ - esfera con ángulos $2\pi/m$ . Dibujar congruentes $n$ - de éste, y continuar extendiendo el mosaico de esta manera. Debido a ángulo, estos polígonos deben unirse localmente. Queremos comprobar que se unen localmente.

Consideremos el espacio topológico con un $n$ -gon para cada $n$ - sobre la esfera, unidos por los bordes siempre que los correspondientes $n$ -comparten esa arista. Entonces este espacio topológico es un espacio de la esfera. Pero la esfera ya está simplemente conectada, así que nuestro espacio de cobertura debe ser la propia esfera. Así que tenemos un regular de la esfera. Ahora creamos un poliedro regular tomando el casco convexo de los vértices.

Si este argumento funciona, ¿puede simplificarse para que lo entienda alguien sin conocimientos de topología algebraica?

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Debajo de esta línea hay un intento de David Speyer de replantear la cuestión. Me gustan más los complejos simpliciales que los complejos CW, así que voy a subdividir los polígonos de la pregunta original. En lugar de una esfera $m$ -gon con ángulos $2 \pi/n$ Voy a colocar un vértice en el centro del polígono y conectarlo a todos los vértices y a los puntos medios de todas las aristas. Así que tengo $2m$ triángulos esféricos con ángulos $\pi/m$ , $\pi/n$ y $\pi/2$ .

Así que aquí está mi reformulación. Que $(a,b,c)$ sean enteros positivos con $1/a+1/b+1/c > 1$ (en nuestro caso, $(2,m,n)$ ). Formamos un complejo simplicial bidimensional $\Delta$ cuyos vértices son de color ámbar, azul y carmesí, con dos triángulos en cada arista y $2a$ , $2b$ , $2c$ triángulos alrededor de los vértices ámbar, azul y carmesí, respectivamente. Una forma de hacer esto más preciso es definir $W$ es el grupo generado por $s_1$ , $s_2$ , $s_3$ sujeto a $s_1^2=s_2^2=s_3^2=(s_1 s_2)^a = (s_1 s_3)^b = (s_2 s_3)^c = 1$ . Nuestros vértices corresponden a cosets de los subgrupos $H_a:=\langle s_1, s_2 \rangle$ , $H_b:=\langle s_1, s_3 \rangle$ y $H_c:=\langle s_2, s_3 \rangle$ con vértices en el mismo triángulo si son de la forma $(w H_a, w H_b, w H_c)$ .

Entonces $\Delta$ se asigna al $2$ -esfera, enviando nuestra base simplex al triángulo esférico $T$ con ángulos $(\pi/a, \pi/b, \pi/c)$ y elegir las imágenes de todos los demás vértices haciendo $s_1$ , $s_2$ , $s_3$ actúan por reflejos sobre los lados de $T$ .

Cualquiera que haya impartido un curso sobre grupos de Coxeter sabe que es cierto, pero un dolor de de demostrar, que los grupos $\Delta$ mapea isomórficamente a la esfera $S^2$ y, en particular, $W$ es finito.

¿Cuánto podemos reducir el dolor sabiendo que $S^2$ ¿está simplemente conectado?

Answer 1

Yo abordaría esta cuestión desde el punto de vista de la teoría de grupos. A saber, si uno empieza a clasificar subgrupos finitos $G$ de $\mathrm{SO}(3)$ (digamos, mirando primero su postes - puntos de intersección de un eje de rotación con la esfera $S^2$ ), entonces no es difícil demostrar contando órbitas que hay siguientes posibilidades para subgrupos finitos de $\mathrm{SO}(3)$ :

• cíclico
• diedro
• algún grupo $\mathbf T$ de orden 12 con tres tipos de órbitas polares de tamaños 4, 6 y 4 (por tanto con estabilizadores de tamaños 3, 2 y 3);
• algún grupo $\mathbf O$ de orden 24 con tres tipos de órbitas polares de tamaños 8, 12 y 6 (por tanto con estabilizadores de tamaños 3, 2 y 4);
• algún grupo $\mathbf I$ de orden 60 con tres tipos de órbitas polares de tamaños 12, 30 y 20 (por tanto, con estabilizadores de tamaños 5, 2 y 3).

Por supuesto, el punto delicado es comprobar que $\mathbf T$ , $\mathbf O$ y $\mathbf I$ existen sin apelar a la existencia de los sólidos platónicos :) Esto puede hacerse al menos de dos maneras:

• utilizando presentaciones explícitas de los mismos como se describe, por ejemplo, en el § 57 del libro G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson, Teoría y aplicaciones de los grupos finitos Dover, Nueva York, 1916; por ejemplo, para el tetraedro dice $s_1^3=s_2^3 = (s_1s_2)^2 = 1$ que es fácilmente realizable mediante rotaciones;
• o (¡sorprendentemente!) mediante superficies de Riemann .

Ahora bien, si tomamos cualquier órbita cuyo estabilizador tenga tamaño superior a 2, (es decir, una órbita de tamaño 4 para $\mathbf T$ una órbita de tamaño 8 o 6 para $\mathbf O$ una órbita de tamaño 12 o 20 para $\mathbf I$ ), entonces sus puntos definirán vértices de un politopo regular (cuyas aristas pueden definirse como la conexión de un vértice con los vértices más cercanos).

Cada vértice puede girar $G$ a otro por construcción, y el estabilizador de cada vértice consiste en rotaciones alrededor de él, que claramente tienen que permutar aristas que salen de este vértice. Ahora, los tamaños de los estabilizadores garantizan que hay exactamente tantas aristas que salen de cada vértice como el orden del estabilizador, y por lo tanto cada arista puede ser rotada a cada otra arista por un elemento de $G$ . En $G$ preserva claramente las caras de nuestro poliedro, se ven obligadas a ser polígonos regulares. Una inspección de los órdenes de los estabilizadores da así la lista de los sólidos platónicos.

Nótese que las órbitas "excepcionales" tienen estabilizadores de orden 2, por lo que la construcción anterior no funciona allí porque no hay suficientes rotaciones alrededor de estos vértices (sin embargo, sólo nos preocupaba existencia de los sólidos platónicos).