Es $\{n!\alpha\},n \in\mathbb{N}$ denso en $R$ ? donde $\alpha$ es irracional

Question

Es $\{n!\alpha\},n \in\mathbb{N}$ denso en $[0,1]$ ? donde $\alpha$ es irracional.

Sé que $\{n\alpha\}$ es denso en $[0,1]$ ? Quería generalizarlo. Así que, primero pensé en $\{n!\alpha\},n \in\mathbb{N}$ pero no pude hacer ningún progreso razonable, aunque mi intuición me dice que la respuesta será no.

Answer 1

Se puede deducir, mediante un argumento algo cuidadoso, que si una secuencia $s_n$ aumenta sin límite, entonces $\{s_n\alpha\}$ es denso en $[0,1]$ para casi todo verdadero $\alpha$ . Sin embargo, en general, esta secuencia no es densa para cada irracional $\alpha$ .

De hecho, podemos encontrar un contraejemplo notable para $n!$ . Considere $$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.$$ Tenga en cuenta que $$\{n!e\} = \sum_{k={n+1}}^{\infty}\frac{n!}{k!}$$ ya que el plazo hasta el $n^{th}$ son números enteros después de multiplicarlos por $n!$ y los términos restantes (suponiendo $n > 1$ ) no suman $1$ . De hecho, observe que $\frac{n!}{k!} \leq \left(\frac{1}{n}\right)^{k-n}$ lo que implica, utilizando una suma geométrica, que $$\{n!e\} = \sum_{k={n+1}}^{\infty}\frac{n!}{k!} \leq \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}n\right)^i = \frac{1}{n-1}.$$ Por supuesto, una secuencia que satisfaga esto no puede ser densa.

Puede que note que el hecho de que tengamos $n!$ frente a alguna otra secuencia similar no es tan importante; es posible extender esto para dar contraejemplos para cualquier secuencia elegida $s_n$ de enteros donde cada término divide al siguiente - pero es un poco agradable que el contraejemplo aquí sea un número bien conocido.