¿Por qué es imposible medir la posición y el momento al mismo tiempo con una precisión arbitraria?

Question

Soy consciente del principio de incertidumbre que no permite $\Delta x$ y $\Delta p$ sean ambos arbitrariamente cercanos a cero. Esto lo entiendo mirando la función de onda y viendo que si una está muy picada su transformada de fourier será amplia.

Pero, ¿cómo impide esto medir al mismo tiempo la posición y el momento? He buscado esta pregunta en Google, pero todo lo que he encontrado son explicaciones que utilizan el "efecto observador". No estoy seguro, pero creo que este efecto es muy diferente del principio de incertidumbre intrínseca.

¿Qué nos impide medir la posición y el impulso con precisión arbitraria? ¿Tiene que cambiar siempre un sistema cuántico al ser observado? ¿O tiene que ver con el principio de incertidumbre?

Gracias de antemano.

Answer 1

Para medir la velocidad, se mide el tiempo entre dos posiciones. Una vez que tienes determinada una velocidad, ¿a cuál de las dos posiciones la asociarías simultáneamente? No puedes hacerlo correctamente con ninguna de las dos posiciones. Para asociarla a la media de las dos posiciones tendrías que suponer una velocidad constante, pero sólo has medido la velocidad media entre las dos posiciones y no tienes forma de saber si era constante entre ellas.

Answer 2

Su afirmación de que la relación de incertidumbre procede de la transformada de Fourier es bastante simplista. La física no es sólo una colección de resultados matemáticos. La QM se desarrolló como teoría para dar cuenta de observaciones experimentales que no respetaban la mecánica clásica, newtoniana o relativista. Realmente apuntaban al hecho de que nuestro paradigma respecto a la naturaleza de la materia estaba equivocado. En QM cada cantidad observable está representada por una operación que actúa sobre un espacio de funciones lineales. Los valores propios de esos operadores representan las únicas medidas permitidas de esa cantidad que pueden ser observadas. Por ejemplo, la posición ( $x$ ), impulso ( $p_x$ ), energía ( $E$ ), etc son todos operadores. Las funciones propias de estos operadores representan el "estado" en el que se preparará el sistema una vez realizada una medición.

Cuando se mide $x$ que quizás se puede hacer con precisión y exactitud arbitrarias, y se obtiene un valor específico, la partícula queda en un estado propio del operador $x$ que es una función delta de Dirac. Ahora bien, si se intenta medir $p_x$ inmediatamente después existe la misma probabilidad de obtener cualquier valor de $p_x$ . Una vez que mida $p_x$ su medida anterior de $x$ está completamente arruinado. No está justificado en absoluto que afirme que conoce el valor de $x$ . Si intenta medir $x$ obtendrá una respuesta diferente. Esto es lo que describe la relación de incertidumbre. Decir que tiene que ver con la precisión de las mediciones es una pista falsa.

Answer 3

El OP escribió:

Entiendo que para una función de onda dada que si $\Delta x$ es pequeño, $\Delta p$ será grande y cómo surge de las transformaciones de Fourier. Pero no veo cómo esto impide a alguien hacer una medición simultánea de ambos $x$ y $p$ con una precisión infinita.

Esto parece reducirse a la cuestión de lo que significa "medición simultánea". Lo que significa medir simultáneamente dos observables $A, B$ es realizar una única medición en el sistema, obteniendo los valores $a$ y $b$ tal que, inmediatamente después de la medición, el sistema se encuentre en un estado en el que el valor de $A$ es ciertamente $a$ y el valor de $B$ es ciertamente $b$ .

En otras palabras, el resultado de la medición es que el sistema se encuentra en un estado propio simultáneo de $A$ y $B$ . Dado que no hay estados propios simultáneos de $x$ y $p$ (como el OP ya entiende), esto no es posible para este par particular de observables.

Answer 4

El principio de incertidumbre no es una limitación de las "mediciones", sino que expresa una limitación fundamental del Universo en cuanto a su capacidad de información. A grandes rasgos, el Universo sólo "asigna", por así decirlo, tantos bits a cada partícula y, por tanto, sólo hay tantos bits disponibles que puedan, en un momento dado, realizar su actual posición e impulso juntos. Esto es más evidente cuando se escribe en la forma -¡y esta es una forma más precisa! - con la entropía informativa de la posición y el impulso:

$$H_x + H_p \ge \lg(e\pi \hbar)$$

que simplemente dice que hay siempre va a haber entropía -falta de información, en comparación con su homólogo clásico- en uno, en otro o en ambos.

No hay mucha magia en eso. El Universo simplemente es económico y no derrocha un número infinito de bits para detallar los parámetros de sus partículas.

Es por eso que, como menciona la otra respuesta, si ahora traen medición que se entiende más propiamente como transacción de información entre un sistema y un agente, e intente medirlos a ambos con mayor precisión que la cantidad anterior (unos 170,18 bits conjuntamente, si se toma en relación con una escala de 1 m y 1 N-s), no podrá repita la medición inmediatamente después y obtener los mismos valores. Obtener el mismo valor requeriría que la información estuviera en la partícula para poder recuperarla de nuevo, pero no hay espacio de almacenamiento para ello. Por lo tanto, lo que se obtiene es basura.

Answer 5

El Principio de Incertidumbre no tiene casi nada que ver con la medición. Es intrínseco a los fenómenos ondulatorios que si una composición de ondas tiene una frecuencia definida, tiene una gran incertidumbre en su duración y viceversa. Técnicamente, una onda sinusoidal pura de una sola frecuencia que dura sólo temporalmente no es tan pura. Cuando se amplía a su representación de Fourier, se encuentra una distribución de densidad de múltiples frecuencias.

La frecuencia y la duración son magnitudes conjugadas de la onda. También lo son el número de onda y la longitud de onda.

El Principio de De Broglie permite asociar una longitud de onda a una partícula material en función de su momento. La Mecánica Clásica establece una relación entre longitud de onda y momento para las ondas luminosas.

Juntos tenemos que las "Ondas Matéricas" tienen momento y posición como cantidades conjugadas. Una partícula con una banda estrecha de momentos debe tener una distribución amplia en el espacio. La interpretación de Born de la onda partícula asocia el módulo de su valor con la probabilidad de estar situado en esa posición.

La incertidumbre en la posición es la desviación típica de la posición dada por su función de onda. La transformada inversa de Fourier es la función de onda en el espacio del momento.

Se puede demostrar entonces que tener una posición definida, es decir, una alta concentración de probabilidad de estar situado alrededor de un punto concreto, requiere que tengamos una amplia concentración de momentos, es decir, que la partícula tenga una probabilidad de estar en múltiples estados de momento muy alejados entre sí.

Todo se reduce a la naturaleza intrínseca de las ondas y a que éstas se asocian con el impulso y la posición.

Esto se manifiesta a través de la medición de varias maneras.

Resulta que el Principio de Incertidumbre nos dice que no podemos conocer simultáneamente con precisión arbitraria dos componentes cualesquiera del Momento Angular de Espín de una partícula cuántica, que tenga espín 1/2.

Medida $L_x$ y podríamos conseguir $\hbar/2$ . Mídelo un montón de veces más, y obtendrás la misma respuesta, repitiendo. Ahora mide $L_x$ y supongamos que obtienes $\hbar/2$ entonces mida $L_y$ . Sólo hay un 50/50 de posibilidades de obtener cualquiera de los dos valores permitidos. Mida $L_x$ de nuevo, sólo tiene un 50/50 de posibilidades de volver a obtener $\hbar/2$ .

Mecánica cuántica, estar en un estado específico de $L_x$ es necesariamente estar en múltiples estados de $L_y$ o $L_z$ . Sólo se obtiene una respuesta definitiva si una partícula se encuentra en un estado puro de un observable cuántico.

En los sistemas cuánticos más complicados, sólo hay ciertos estados cuánticos permitidos. La medición sólo producirá ciertos resultados específicos, independientemente de cómo se mida el valor cinemático. Sólo observamos el Principio de Incertidumbre en juego cuando hacemos observaciones, es decir, ejecutamos mediciones, pero el comportamiento es indicativo de atributos fundamentales del sistema y no del aparato de medición.