No se pueden medir valores precisos al mismo tiempo porque no existen valores precisos para ambos al mismo tiempo.
Todas las propiedades de un electrón, por ejemplo, pueden deducirse de su función de onda, $\Psi(\vec x)$ . La función de onda es un objeto matemático que abarca todo el espacio. Tiene un valor complejo en cada punto.
El electrón no tiene una posición precisa. En cambio, tiene una probabilidad de encontrarse en cada punto, $\vec x$ en el espacio al ser medido. Esa probabilidad es $\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)$ . (Esto es un poco flojo. Realmente la probabilidad de ser encontrado en una pequeña región $d \vec x$ es $\int \Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x) d \vec x$ .)
La probabilidad de ser encontrado en algún lugar es $1$ y así $\int\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)dx = 1$ . Una función de este tipo debe acercarse a $0$ en todas partes excepto en alguna región finita.
Existe un caso límite en el que $0$ en todas partes excepto en un punto, donde es infinito. En ese caso, tiene una posición definida.
También puede obtener el impulso de $\Psi(\vec x)$ . De nuevo, un momento definido no existe, excepto en un caso límite.
En general, $p = h\lambda$ . Esto significa que un electrón con un momento definido tendría una función de onda sinusoidal de amplitud constante con una longitud de onda definida. Tal función de onda cubriría todo el espacio. $\Psi(\vec x) = A e^{i \vec p \cdot \vec x}$ . Esto no es posible, salvo en un caso límite en el que la amplitud se aproxima a $0$ . Pero en este caso límite, la función de onda tiene la misma amplitud (infinitesimal) en todas partes. El electrón no tiene localización alguna. Está repartido por todo el espacio.
Estos casos límite se sitúan en los extremos opuestos de un abanico de posibilidades. La mayoría de las funciones de onda son distintas de cero en una región finita. O al menos, dado cualquier número pequeño $\epsilon$ , $|\Psi(\vec x)| > \epsilon$ sólo en una región finita.
El electrón se encontrará en esa región finita, pero no tiene una ubicación precisa. Sólo una región donde se encontrará.
Tampoco tiene un impulso definido. Se puede utilizar el análisis de Fourier para descomponer una función en una suma de funciones de la forma $A e^{i \vec p \cdot \vec x}$ . $\Psi(\vec x) = \sum A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x}$ . En el caso de una función no periódica como la que tenemos aquí, es una suma infinita de funciones infinitesimales. Se expresa como una integral y no como una suma. $\Psi(\vec x) = \int A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x} d \vec p$
Puedes pensar en $A(\vec p)$ como otra forma de expresar la función de onda. Se trata de otra función matemática, definida sobre el conjunto de todos los momentos posibles. Es útil para describir el momento del electrón.
Se puede demostrar que $A(\vec p)$ tiene muchas de las mismas propiedades que $\Psi(\vec x)$ lo hace. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar que el electrón tiene momento $\vec p$ es (de nuevo vagamente) $A(\vec p)^*A(\vec p)$ .
Se puede demostrar $\int A(\vec p)^*A(\vec p)d\vec p = 1$ . Es decir, la probabilidad de encontrar el electrón con algún momento es $1$ . Se puede demostrar que la función sólo puede ser distinta de cero para un intervalo finito de $\vec p$ 's.
Existe un caso límite en el que $A(\vec p)$ es $0$ en todas partes excepto en un valor de $\vec p$ . En este caso límite, el electrón tiene un $\vec p$ .
Pero el caso habitual es que el electrón no tiene ni una $\vec x$ ni una $\vec p$ . Es decir, cuando la función de onda se expresa como $\Psi(\vec x)$ tiene una región finita en la que $\Psi(\vec x) > 0$ . En este caso, resulta que cuando la función de onda se expresa como $A(\vec p)$ existe un intervalo finito de $\vec p$ donde $A(\vec p) > 0$ .
El Principio de Incertidumbre es una relación importante entre el tamaño de estas dos regiones finitas. $\Delta \vec x \Delta \vec p > \hbar/2$ .
Este vídeo de 3blue1brown ilustra la idea. En concreto, muestra cómo el Principio de Incertidumbre procede de las propiedades de las ondas.
Anexo - No he abordado un aspecto en el que la respuesta de pglpm brilla realmente. Pensé que podría añadir mis 2 centavos.
Supongamos que tenemos un electrón preparado en un estado dado por una función de onda particular, $\Psi(\vec x)$ . La posición y el momento pueden calcularse como valores particulares $\vec x$ y $\vec p$ con incertidumbres $\Delta \vec x$ y $\Delta \vec p$ . Obsérvese que las incertidumbres suelen expresarse como desviaciones típicas de los resultados esperados. Esto significa que se puede predecir que la posición y el momento serán $\vec x \pm \Delta x$ y $\vec p \pm \Delta p$ .
Supongamos que el electrón acaba de llegar a una superficie de película delgada libre que contiene muchos átomos.
Si $\Delta \vec x$ es grande, no es posible predecir de antemano con qué átomo chocará el electrón. Sin embargo, el electrón chocará con un átomo concreto. Puede que el átomo se vea afectado de alguna manera permanente, por ejemplo, siendo expulsado y dejando un agujero. En ese caso, es posible volver atrás y averiguar con precisión cuál era la posición del electrón.
Si $\Delta \vec p$ es grande, no es posible predecir de antemano cuál será el momento medido del electrón. Pero si expulsa un átomo, puede ser posible medir el tiempo de vuelo del electrón dispersado y del átomo a detectores con alta resolución espacial y obtener un valor muy preciso de cuál resultó ser el momento inicial del electrón.
El Principio de Incertidumbre no limita la precisión con la que podemos determinar los resultados de estas mediciones. Limita la precisión con la que podemos predecirlos de antemano. Si hay muchos electrones en el mismo estado, limita la repetibilidad de las mediciones múltiples.
Inmediatamente después de la colisión, el electrón y el átomo estarán en nuevos estados. Ambos estados tendrán un $\Delta \vec x$ y $\Delta \vec p$ . No es posible predecir de antemano cuándo y dónde chocará ninguno de ellos con sus detectores. Pero sí es posible afirmar que los resultados combinados de las mediciones de la posición y el momento del electrón y el átomo dispersados sumarán un momento coherente con el momento inicial del electrón y la incertidumbre.
