¿Por qué y cómo "funcionan" ciertas manipulaciones en integrales indefinidas?

Question

Voy a poner un ejemplo muy sencillo para elaborar mi pregunta.

Cuando integramos $\sec (x)\,dx$ dividimos y multiplicamos por $\sec (x) + \tan (x)$ .

$$\int \sec(x)\,dx = \int \sec (x) \left[{\sec (x) + \tan (x) \over \sec (x) + \tan (x)}\right]\, dx$$

Sólo estoy resolviendo desde aquí.

$$\int {\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x) \over \sec(x) + \tan(x)} \, dx $$

Entonces dejamos que $\sec(x) + \tan(x) = u$

$$\implies du = (\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x))\,dx$$

$$\implies \int {du \over u}$$

$$= \ln{\left|\sec(x) + \tan(x)\right|} + c$$

Ahora paso a mis preguntas.

1. ¿Por qué TENEMOS que hacer esa manipulación de multiplicar $\sec(x) + \tan(x)$ . Como sé que es para obtener la respuesta ... pero ¿por qué funciona tan bien?

2. ¿Cómo pensar así? Como "si multiplico $\sec(x) + \tan(x)$ en el numerador y el denominador, entonces podré resolverlo muy fácilmente". ¿Qué hay en esa integral que dé pie a pensar en tal manipulación?

Answer 1

Mostraré cómo se puede utilizar aquí el método de Paul Garrett.

Conceptos básicos

Lema 1 : $e^{ix} = \cos x + i \sin x$

Prueba: necesitas series de Taylor, ver mi artículo (aunque no sea muy riguroso)

Lema 2 : $\frac{e^{ix} + e^{-ix} }{2} = \cos x$

Prueba: $$ e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ $$ e^{-ix} = \cos(-x) + i \sin(-x) = \cos(x) - i \sin x$$ Sumando las dos ecuaciones y reduciéndolas a la mitad, encontramos la requerida.

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Cálculo de la integral:

$$ \int \sec x \,dx = \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \int \frac{2 \, dx }{e^{ix} + e^{-ix} } = \int 2\frac{e^{ix} }{e^{2ix} +1} \, dx$$

La última integral exige una sustitución natural de $e^{ix} = t$ entonces tenemos una integral polinómica estándar que es intuitiva de evaluar.

Answer 2

Tú no tienen usar ese truco. Hay uno mucho más sencillo: $$ \int\frac{1}{\sin t\cos t}\,dt =\int\frac{\cos^2t+\sin^2t}{\sin t\cos t}\,dt =\int\Bigl(\frac{\cos t}{\sin t}+\frac{\sin t}{\cos t}\Bigr)\,dt =\log\lvert\tan t\rvert+c $$ ¿Cómo puede transformar $\cos x$ en $a\sin t\cos t$ ? Fácil: fijar $x=2t-\pi/2$ . Et voilà $$ \int\frac{1}{\cos x}\,dx=\int\frac{1}{\sin t\cos t}\,dt=\log\lvert\tan t\rvert+c=\log\Bigl|\tan\Bigl(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr|+c $$ Por cierto, esto también da como resultado, con $x=2t$ , $$ \int\frac{1}{\sin x}\,dx=\int\frac{1}{\sin t\cos t}\,dt=\log\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr|+c $$

Answer 3

Hay una forma más elemental de ver esto - de ver por qué uno haría esto - que no creo que las otras respuestas hayan destacado realmente.

En primer lugar, hay que estar familiarizado con los logaritmos, y con el hecho de que $\frac{f^\prime}{f}$ es la derivada de $\ln\left|f\right|$ .

A continuación, mira tus derivadas trigonométricas. Las funciones $\sin$ y $\cos$ son un par, y sus derivadas son simplemente la una de la otra, con un signo menos cuando sea apropiado. Más sencillo imposible. (Bueno, podría ser más sencillo, si el signo menos no existiera, pero ese comportamiento está reservado para $\sinh$ y $\cosh$ .)

Otro buen par de funciones es $\sec$ y $\tan$ . ¿Qué hace que formen una pareja? Bueno, ambos tienen los mismos dominios, porque tienen $\cos$ en sus denominadores. También conviven en una versión de la identidad pitagórica: $\tan^2x + 1 = \sec^2x$ . Así que veamos sus derivados.

Tenemos $\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x$ y $\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$ . Sus derivados no son exactamente "el uno para el otro", pero son el uno para el otro. $\sec x$ veces la otra función. Eso significa que, como la suma es conmutativa, la derivada de su suma tiene una buena propiedad: $$\frac{d}{dx}(\sec x+\tan x) = \sec x(\sec x+\tan x)$$ En $f(x) = \sec x+\tan x$ tenemos $$f'(x) = \sec x\cdot f(x)$$ o: $$\frac{f'(x)}{f(x)}=\sec x$$ A partir de aquí, sólo es cuestión de encajar las piezas.

Answer 4

Inicialmente publiqué esto como un comentario, pero con mi maestría y con mis 10.000 rep, creo que me saldré con la mía publicando esto como una respuesta. En realidad con mi enfado con el sistema pero con ninguna persona en particular, me da igual.

Parte 1: es fácil:

1. saber cómo integrar la secante de una manera mejor.
2. diferenciar y luego averiguar el truco de la sec + tan thingy
3. enseñárselo a los estudiantes de cálculo principiantes y esperar a que surjan preguntas de stackexchange como ésta.

Parte 2: en serio esto es una gran coincidencia descubierta por simple diferenciación después de integrar la secante por métodos mejores. Luego se presenta a los estudiantes de cálculo principiantes como un truco asombroso. Mira la propia antiderivada. Es $$\ln|\text{something}|.$$

Esto hace saltar las alarmas de que la derivada desde $\ln |f|$ es $\frac{f'}{f}$ entonces multiplicaremos $\sec$ por $\frac{f}{f}$ con $f = \sec + \tan$ . Yo mismo olvidé los detalles (Editar: Ah, ver esta otra respuesta ) pero si se piensa en diferenciar el $\ln|\text{something}|$ entonces no creo que sea muy difícil llegar a $\frac{\sec + \tan}{\sec + \tan}$ . Supongo que podríamos poner a prueba a los estudiantes de cálculo en la escuela secundaria como algún experimento como si se les ocurre $\frac{\sec + \tan}{\sec + \tan}$ después de decirles la antiderivada e insinuarles que diferencien la antiderivada y luego tal vez insinuarles de nuevo que multipliquen con $\frac{\text{something}}{\text{the same thing}}$ . Tal vez hacer algún grupo de control frente a grupo de tratamiento donde algunos estudiantes se les enseña esto sin relación sobre la integración $\frac{f'}{f}$

• Edición: Espera... ¡ahora lo recuerdo! Derivado de $\ln|f|$ es $\frac{f'}{f}$ Así que observamos que la derivada $f'$ de $f=\sec + \tan$ es $f'=\sec(\sec + \tan)$ Así que... sí, creo que es fácil si ya conoces la antiderivada.

Dudo seriamente que a alguien se le ocurriera esto un día desde cero. Seriamente seriamente creo que alguien (oh aparentemente alguien llamado James Gregory ) pensaron en esto después de que ya integraran la secante con fracciones parciales (oh aparentemente esto tiene un nombre: El enfoque de Barrow ) o el "la sustitución más furtiva": Weierstrass (dice michael spivak El leyenda viva que inventó ' e ').