¿Por qué y cómo "funcionan" ciertas manipulaciones en integrales indefinidas?

Question

Voy a poner un ejemplo muy sencillo para elaborar mi pregunta.

Cuando integramos $\sec (x)\,dx$ dividimos y multiplicamos por $\sec (x) + \tan (x)$ .

$$\int \sec(x)\,dx = \int \sec (x) \left[{\sec (x) + \tan (x) \over \sec (x) + \tan (x)}\right]\, dx$$

Sólo estoy resolviendo desde aquí.

$$\int {\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x) \over \sec(x) + \tan(x)} \, dx $$

Entonces dejamos que $\sec(x) + \tan(x) = u$

$$\implies du = (\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x))\,dx$$

$$\implies \int {du \over u}$$

$$= \ln{\left|\sec(x) + \tan(x)\right|} + c$$

Ahora paso a mis preguntas.

1. ¿Por qué TENEMOS que hacer esa manipulación de multiplicar $\sec(x) + \tan(x)$ . Como sé que es para obtener la respuesta ... pero ¿por qué funciona tan bien?

2. ¿Cómo pensar así? Como "si multiplico $\sec(x) + \tan(x)$ en el numerador y el denominador, entonces podré resolverlo muy fácilmente". ¿Qué hay en esa integral que dé pie a pensar en tal manipulación?

Answer 1

Muchos trucos misteriosos en integrales que implican funciones trigonométricas pueden explicarse expresando las funciones trigonométricas en términos de exponenciales, como en $\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ . Las expresiones racionales resultantes en exponenciales siempre se pueden integrar...

EDIT: para explicar por qué/cómo las expresiones racionales en $e^{ix}$ siempre pueden integrarse: por ejemplo, $$ \int {1\over 1+e^{ix}} \, dx \;=\; -i \int {1\over e^{ix}(1+e^{ix})}\;d(e^{ix}) \;=\; -i \int {1\over t(1+t)}\;dt $$ con $t=e^{ix}$ . A continuación, utiliza fracciones parciales para dividirlo en partes fácilmente calculables.

Una vez que aprendí esto, hace años, perdí casi todo interés en los trucos, porque se pueden recuperar equivalentes de ellos utilizando exponenciales y números complejos. No es necesario adivinar.

Sin embargo, históricamente, estoy totalmente seguro de que la gente experimentaba sin cesar hasta encontrar un truco para poder calcular una integral indefinida dada, y luego ese truco se transmitía a las generaciones siguientes. En particular, si lo vemos así, no hay forma real de que uno pueda "anticipar" los trucos necesarios...

Answer 2

(Esta respuesta podría considerarse una ampliación de la que dio Steven Stadnicki).

Existen enfoques generales para "algebraizar" el problema y deshacerse de las funciones trascendentales como $\sec(x)$ . Un enfoque consiste en utilizar funciones de valor complejo, como se explica (esencialmente) en la respuesta de Paul Garrett.

Otra aproximación (que evita los números complejos) utiliza la función racional parametrización del círculo obtenido "proyectando" un punto $(\cos x, \sin x)$ del círculo desde el punto $(-1,0)$ para señalar $(0,t)$ en el eje vertical. Comprobamos fácilmente que $t=\tan(x/2)$ utilizando el teorema del ángulo incluido en geometría de secundaria. Esto da las identidades: $$ \begin{align*} \cos(x) &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \sin(x) &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \end{align*} $$ Así que $x=2\tan^{-1}(t)$ donde $t$ se encuentra en $(-\infty,\infty)$ .

Tenga en cuenta que $dx=\frac{2~dt}{1+t^2}$ .

Todas las funciones trigonométricas pueden escribirse como funciones racionales de $t$ también las integrales. Por ejemplo, $$ \int \sec(x) dx = \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{2dt}{1+t^2} = \int \frac{2}{1-t^2} dt $$ que puede integrarse utilizando fracciones parciales. $$ \int \frac{2}{1-t^2} dt = \int \left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)dt = \log(1+t) - \log(1-t) + c $$ Sustituyendo $t$ en términos de $x$ da la respuesta.

Editar : TIL, gracias a la respuesta de Steve Stadnicki, que esto se conoce como la sustitución de Weierstrass y era conocido (al menos) por Euler; lo cual no es sorprendente ya que conduce a la formulación de la longitud de arco de una elipse en términos de integrales elípticas.

Answer 3

Tú no tienen hacerlo de esa manera, pero sigue siendo una buena manera de hacerlo, ya que se obtiene algo así como $\int \frac{f’(x)}{f(x)} \, dx$ . Una forma más natural, tal vez, sea la siguiente (aunque la idea es la misma)

$$\int \frac{dx}{\cos x} \\ =\int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \\ = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2x} \,dx $$ Sea $\sin x = t \implies \cos x \ dx = dt$ : $$=\int \frac{dt}{1-t^2} \\ =\frac 12 \ln \left | \frac{t+1}{t-1} \right | + C \\ = \frac 12 \ln\left | \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right | + C$$

Answer 4

Responderé a su segunda pregunta. Es una gran pregunta, y hacerla es realmente importante para mejorar en la resolución de problemas matemáticos. En general, con preguntas integrales, yo diría que pensar en este tipo de cosas simplemente viene con la experiencia y ver un montón de problemas similares.

Sin embargo, en este caso, esa intuición no es suficiente (en mi opinión). Creo más bien que se trata de una de esas cosas en las que la gente intentó durante un tiempo encontrar una antiderivada para $\operatorname{sec}(x)$ y a alguien se le ocurrió esto después de trastear un rato.

(Además, desde el punto de vista práctico, creo que una pregunta así sería demasiado difícil para un examen, si los alumnos no hubieran visto ya el truco).

Answer 5

(1) Escribiendo la integral como $$ \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\tan x + \sec x} \, dx \, , $$ lo has puesto (bastante milagrosamente) en la forma $$ \int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)|+C\, . $$ En términos más generales, $$ \int f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx =f(g(x))+C \, . $$ Esto es una consecuencia directa de la regla de la cadena.

(2) Estoy de acuerdo contigo en que esta sustitución es un "truco de magia", y sólo sería obvia para alguien que ya conozca el valor de la integral. He aquí un enfoque que espero que puedas imaginar que se te ocurre a ti mismo (aunque, con una buena cantidad de ensayo y error):

$$ \int \sec x \, dx = \int \frac{1}{\cos x } \, dx = \int \frac{\cos x }{\cos^2x} \, dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \, dx \, . $$ Realice la sustitución $u=\sin x$ y utilizar las identidades trigonométricas para simplificar .

De nuevo, la idea detrás de este enfoque es escribir la integral en la forma $$ \int f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \, , $$ aquí con $g(x)=\sin x$ . Realización de la sustitución $u=\sin x$ es sólo una forma práctica de aplicar la regla de la cadena a la inversa, como se ha descrito anteriormente. Para más información, consulte este post sobre integración de secantes .