¿Qué ángulo proporciona la trayectoria más larga para un proyectil?

Question

Sé que $45°$ da el mayor alcance, y siento como si $45°$ también podría ser el ángulo para la trayectoria más larga del objeto, pero no estoy seguro. ¿Cómo se podría averiguar cuál es este ángulo? También puede ser que este ángulo dependa de la velocidad inicial, por lo que no sería una constante.

Para que quede claro a qué me refiero con trayectoria, imagina que el objeto suelta cuerda al aire mientras se desplaza. La longitud de la trayectoria sería la longitud de esa cuerda.

Answer 1

Es probable que haya un truco ingenioso para resolver esto, pero he aquí un primer intento rudimentario de solución:

Que el proyectil parta del origen con velocidad $v_0=1$ y ángulo $\theta$ trazando la curva $$x(t)=\cos(\theta) t$$ $$y(t)=\sin(\theta)t-gt^2/2.$$ Aterrizará con el tiempo $t_{max}=2\sin(\theta)/g$ . La longitud de la trayectoria es $$L=\int_0^{t_{max}} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$ $$=\int_0^{t_{max}} \sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta) + g^2t^2 - 2\sin(\theta) g t} dt$$ $$=\int_0^{t_{max}} \sqrt{1 + g^2t^2 - 2\sin(\theta) g t} dt.$$ Podemos reparametrizar $u=gt$ , $$L=(1/g)\int_0^{2\sin(\theta)} \sqrt{1 + u^2 - 2\sin(\theta) u} du.$$

Queremos encontrar $dL/d\theta=0$ . Por simetría sabemos que $\theta=\pi/2$ debe ser un extremo. Podemos intentar evaluar la integral y luego encontrar una raíz, o tomar la derivada bajo el signo de la integral (recordando que uno de los límites también depende de $\theta$ ). En ambos casos obtengo una expresión desordenada en mi calculadora simbólica que sospecho que en realidad se simplifica muy bien si uno la masajea de la manera correcta.

En cualquier caso, el trazado $L(\theta)$ muestra que tiene un máximo sólo debajo de $\theta=1$ (Obtengo un ángulo de $56.465^\circ$ ). La vertical $\theta=\pi/2$ la trayectoria es un mínimo local: añadir un poco de velocidad horizontal aumenta la longitud.

Answer 2

Haz una ecuación de la distancia recorrida por el proyectil en función del ángulo inicial de proyección y también en función de la velocidad inicial. Para sacar la distancia máxima iguala la derivada de la ecuación anterior con respecto a la distancia a 0. Esto te dará el ángulo para el alcance máximo. También hay que tener en cuenta que el ángulo de 45 grados da el alcance máximo sólo para proyectiles sobre una superficie horizontal, pero este ángulo puede variar si el proyectil se lanza desde un plano inclinado, por lo que siempre hay que utilizar el método de la derivada.

Answer 3

Como nota a añadir a la respuesta de Andrew la solución analítica es: $$\frac{dL}{d\theta}=\sin \theta\cos \theta\left( 1+ \frac{2}{\sin\theta}+2\ln(1-\sin \theta) \right)=0$$

Lo que da las raíces correctas:

Answer 4

Como has mencionado, depende de la velocidad inicial, pero los resultados se mantendrán mientras todos los lanzamientos tengan la misma velocidad. Pero te animo a que consultes la fotografía adjunta. Fíjate en los datos a pie de página de cada trayectoria. El ángulo más alto registrado (que no sea 90), tiene el tiempo más alto, (T-1.93s). Siga esto a ángulos más altos y obtenga 90 grados como respuesta (t-2.00s).