Área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es $100$ . (Enfoque derivado)

Question

Pregunta:

Halla el área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es $100$ ?

Mi enfoque:

(Estoy utilizando el método derivado)

Algunas reglas básicas:

1.) Si $f''(x) > 0$ entonces la función tiene un valor mínimo en $x$

2.) Si $f''(x) < 0$ entonces la función tiene un valor máximo en $x$

Sea la longitud del rectángulo $= x$

y la anchura del rectángulo $= y$

$2(x+y)=100$

$y = 50 - x$

Como Área $= x × y$

Introduce el valor de y en la ecuación anterior

$f(x) = Area = x(50 - x)$

$f(x) = 50x - x^2$

Tomando la primera derivada: $f'(x) = 50 - 2x$

Suponiendo que la primera derivada es igual a cero obtenemos el valor de x que es $x = 25$ .

Ahora tomando la doble derivada de la ecuación anterior y poniendo el valor de $x$ obtenemos $f''(x) = -2$ que es menor que cero por lo que la función de Área es máxima por lo tanto el Área del rectángulo también será máxima.

¿Qué método debo utilizar para calcular el área?

Conclusión:

¿Existe una forma más ordenada de hacer la pregunta anterior más rápidamente?

¿Y si la pregunta dice que hay que calcular el Área mínima?

Se agradecería cualquier ayuda.

Gracias,

(Perdón por el mal inglés y si alguien encuentra algún error no dude en editarlo y corregirlo :) )

Answer 1

Tenemos

$$P = 2(l+w) \implies 100 = 2(l+w) \iff \color{blue}{50 = l+w} \tag{1}$$

$$\color{green}{A = lw} \tag{2}$$

Reescritura $(1)$ en términos de $w$ (podría hacerlo en términos de $l$ ), obtendrías

$$w = 50-l$$

Enchufar $w = 50-l$ en $(2)$ , tienes

$$A = l(50-l)$$

$$\color{purple}{A = 50l-l^2} \tag{3}$$

Lo has entendido correctamente hasta aquí. Tratar $A$ como una función. La cuadrática resultante es cóncava hacia abajo, por lo que el vértice es un máximo.

$$l_{vertex} = \frac{-b}{2a} = \frac{-50}{2(-1)} = 25$$

Enchufar $l = 25$ en $(1)$ queda claro que $w = 25$ . Por lo tanto, el área máxima se produce cuando hay un cuadrado, por lo que

$$\boxed{A = s^2 = 25^2 = 625}$$

Utilizar sólo cuadráticas es más rápido que utilizar la optimización, pero, por supuesto, eso también es correcto:

$$\frac{dA}{dl} = 50-2l$$

$$\frac{dA}{dl} = 0 \implies 50-2l = 0 \implies l = 25$$

de la que se obtiene la misma respuesta.

En respuesta a tu segunda pregunta, no puedes encontrar un área mínima, porque sencillamente no existe. (A menos que si se establece $w = 0$ en cuyo caso el área pasa a ser $0$ .) Una parábola cóncava hacia abajo tiene un máximo no un mínimo. Un punto mínimo se encuentra cuando la parábola es cóncava hacia arriba, que no es el caso aquí.

Answer 2

Sea $a$ y $b$ son las longitudes de los lados adyacentes del rectángulo.

Así, por AM-GM $$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{50}{2}\right)^2=625.$$ La igualdad se produce para $a=b$ lo que significa que tenemos un valor máximo.

Answer 3

La zona es, como usted dice, $A(x)=x(50-x)$ una cuadrática con raíces $x=0$ y $x=50$ . El gráfico es una parábola simétrica respecto a la recta $x=\frac{0+50}{2}=25$ . Además, la parábola es cóncava hacia abajo porque el coeficiente principal es negativo. Entonces, el máximo es cuando $x=25$ y el valor es $25(50-25)=25^2$ .

Answer 4

Aquí no hace falta cálculo, aunque funciona.

Para ello, basta con observar que $$(l+w)^2-(l-w)^2=4lw$$

Quiere maximizar $lw$ y $l+w$ se fija en $50$ por lo que necesita $l-w$ lo más pequeño posible.

Para minimizar el área que claramente desea $l+w$ y $l-w$ para estar lo más cerca posible unos de otros.