¿Cuántos valores de $2^{2^{2^{.^{.^{.^{2}}}}}}$ ¿depende del paréntesis?

Question

Supongamos que tenemos una torre de energía formada por $2$ en $n$ veces:

$$\huge2^{2^{2^{.^{.^{.^{2}}}}}}$$

¿Cuántos valores podemos generar colocando cualquier número de paréntesis?

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Es bastante sencillo para los primeros valores de $n$ :

• Hay $1$ valor para $n=1$ :
  • $2=2$
• Hay $1$ valor para $n=2$ :
  • $4=2^{2}$
• Hay $1$ valor para $n=3$ :
  • $16=({2^{2})^{2}}=2^{(2^{2})}$
• Existen $2$ valores para $n=4$ :
  • $256=(({2^{2})^{2}})^2=(2^{(2^{2})})^2=(2^{2})^{(2^{2})}$
  • $65536=2^{(({2^{2})^{2}})}=2^{(2^{(2^{2})})}$

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¿Alguna idea de cómo formular una solución general?

Estoy pensando que podría ser factible utilizando una relación de recurrencia.

Gracias

Answer 1

Hay una matemática de esta simetría, se llaman palabras Dyck, que John Baez habla de aquí con algunos diagramas útiles. Es la matemática que rige el número de formas en que se puede anidar un determinado número de conjuntos de paréntesis. Son las simetrías de estas palabras Dyck las que dan lugar al número de diferente soluciones a cualquier tetración dada.

El número de palabras Dyck de longitud $2n$ (es decir, que representa $2n$ conjuntos de corchetes anidados, viene dado por el $n$ º número catalán. Sin embargo eso no quiere decir que esa sea su respuesta, porque en el caso del número $2$ tienes la identidad $2^4=4^2$ por lo que debe eliminar esas soluciones idénticas de su respuesta.

Conjeturé una solución a esto con esta pregunta aquí :

Basado en $n$ hasta $11$ las soluciones dan $1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10, 13,$ que coinciden con https://oeis.org/A017818 .

Pero más tarde me formé la opinión de que me equivoqué con eso, ya que no tiene en cuenta las permutaciones de las palabras dyck más a cada lado de cualquier $(n^2)^2=n^{(2^2)}$ .