haces vectoriales y sus secciones transversales

Question

Sea $B$ sea un espacio compacto de Hausdorff y $C^0(B)$ sea el anillo de funciones continuas de valor real sobre $B$ . Para cualquier haz vectorial $\xi$ en $B$ , dejemos que $\Gamma(\xi)$ denotan el $C^0(B)$ -que consiste en todas las secciones transversales de $\xi$ .

(1). Demostrar que $\xi\cong\eta$ sólo si $\Gamma(\xi)\cong\Gamma(\eta)$ como $C^0(B)$ -módulos.

(2). Demostrar que $\xi$ es trivial si y sólo si $\Gamma(\xi)$ es un $C^0(B)$ -módulo.

¿Cómo hacerlo? No tengo forma de resolverlo...

Además, si $B=M$ es una variedad lisa y $\xi$ es un haz vectorial sobre $M$ si dejamos que $\Gamma^\infty(\xi)$ sea el módulo de secciones transversales lisas sobre $C^\infty(M)$ ¿es cierto que:

(1). $\xi\cong\eta$ sólo si $\Gamma^\infty(\xi)\cong\Gamma^\infty(\eta)$ como $C^\infty(M)$ -¿Módulos?

(2). $\xi$ es trivial si y sólo si $\Gamma^\infty(\xi)$ es un $C^\infty(M)$ -¿Módulo?

Muchas gracias.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, ya que merece la pena que la estudies por tu cuenta.

En cambio, aquí está la idea principal para todas estas preguntas: si usted tiene un $U \subset B$ con una trivialización de $\xi|_U$ ahora tienes una forma de construir $C^0$ secciones ( $C^\infty$ secciones si $B$ es suave) tomando tramos "constantes" veces una función de corte. Por ello, el conocimiento del módulo $\Gamma(\xi)$ es suficiente para recuperar el fardo.