¿Existe una definición abstracta de que una matriz sea "triangular superior"?

Question

Otro pregunta sacó este tema. La única definición que he visto para que una matriz sea triangular superior es, escrita en forma de componentes, "todos los componentes por debajo de la diagonal principal son cero". Pero, por supuesto, esa propiedad depende de la base. No se conserva bajo cambio de base.

Sin embargo, no parece que sea puramente arbitrario, porque el producto de matrices triangulares superiores es triangular superior, y así sucesivamente. Tiene cierre. ¿Hay algún otro tipo de transformación además de una transformación de base que pueda ser relevante aquí? Parece como si un conjunto de matrices que tienen esta propiedad debe tener algún tipo de invariantes.

¿Existe algún tipo de isomorfismo entre los conjuntos de matrices triangulares superiores en bases diferentes?

Answer 1

Una matriz triangular superior en un sentido "intermedio" entre una matriz arbitraria y una matriz diagonal. Con una matriz diagonal, cada vector elemental genera un subespacio unidimensional, y cada uno de estos subespacios está cerrado bajo la transformación lineal. Con una matriz UT, cada vector elemental se envía a una combinación lineal de vectores elementales de índice igual o inferior. Así, cada subconjunto inicial del conjunto de vectores elementales genera un subespacio cerrado. Y entre las matrices triangulares superiores y las matrices diagonales está la forma canónica de Jordan, que es una matriz de bloques en la que cada bloque tiene un único valor propio.

$\text{arbitrary matrices} \supset \text{upper triangular matrices} \supset \text{Jordan canonical form}\supset \text{diagonal matrices}$

Todas las transformaciones lineales tienen una base para la que está en forma canónica de Jordan (al menos, si permitimos números complejos), por lo que todas las matrices son similares a una matriz diagonal superior.

Answer 2

Quiero decir que se puede decir de una manera más formal, por ejemplo, si $M\in\mathbb{R}^{N\times N}$ tiene elementos $a_{ij}$ donde $i,j=[1,2..N]$ entonces: $$a_{ij}=0\,\,\forall i>j $$ y puede tomar cualquier valor para $i\le j$

¿Es esto lo que buscabas?