¿Existe una definición abstracta de que una matriz sea "triangular superior"?

Question

Otro pregunta sacó este tema. La única definición que he visto para que una matriz sea triangular superior es, escrita en forma de componentes, "todos los componentes por debajo de la diagonal principal son cero". Pero, por supuesto, esa propiedad depende de la base. No se conserva bajo cambio de base.

Sin embargo, no parece que sea puramente arbitrario, porque el producto de matrices triangulares superiores es triangular superior, y así sucesivamente. Tiene cierre. ¿Hay algún otro tipo de transformación además de una transformación de base que pueda ser relevante aquí? Parece como si un conjunto de matrices que tienen esta propiedad debe tener algún tipo de invariantes.

¿Existe algún tipo de isomorfismo entre los conjuntos de matrices triangulares superiores en bases diferentes?

Answer 1

Se pueden decir muchas cosas ciertas sobre las matrices triangulares superiores, obviamente... :)

En mi propia experiencia, una cosa útil más funcional (más que notacional) que se puede decir es que el subgrupo de $GL_n$ formado por matrices triangulares superiores es el estabilizador de la bandera (secuencia anidada) de subespacios consistentes en el span de $e_1$ la duración de $e_1$ y $e_2$ ... con vectores de base estándar.

Concretamente, esto significa lo siguiente. La multiplicación matricial de una matriz triangular $A$ y $e_1$ , $Ae_1$ es igual a un múltiplo de $e_1$ ¿verdad? Sin embargo, $Ae_2$ es más que un múltiplo de $e_2$ puede ser cualquier combinación lineal de $e_1$ y $e_2$ . Generalmente, si establece $V_i= \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_i) $ intenta demostrar que $A$ es triangular superior si y sólo si $A(V_i) \subseteq V_i$ . La secuencia anidada de espacios

$$ 0 = V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_n = \mathbb{R}^n$$

se denomina bandera del espacio total.

Se demuestra mediante un lema que cualquier cadena maximal de subespacios puede ser mapeada a esa cadena "estándar" por un elemento de $GL_n$ . En otras palabras, independientemente de la base que se utilice: ser triangular es intrínsecamente respetar una bandera con $\dim(V_i) = i$ (la última condición traduce la maximalidad de la bandera).

Como Daniel Schepler comentó acertadamente, mientras que una base ordenada da una bandera maximal, una bandera maximal hace no especificar una base. Hay más cosas que se pueden decir sobre las banderas frente a las bases... como era de esperar... :)

Answer 2

Ser triangular superior no es una propiedad de las transformaciones lineales a menos que tengas una base ordenada. Incluso cambiando el orden de una base puede cambiar una matriz triangular superior a una matriz que no lo es, o viceversa.

El triángulo superior $n\times n$ son la segunda forma más sencilla de una matriz álgebra de incidencia donde tomamos el conjunto parcialmente ordenado como $\{1,2,\dots,n\}$ con el orden habitual.

El álgebra de incidencia más trivial es el álgebra de matrices diagonales, donde el orden es $i\preccurlyeq j$ si $i=j.$

Una cosa interesante de las matrices triangulares superiores es que forman un álgebra incluso cuando son de dimensión infinita. Esto se debe a que, mientras que la multiplicación requiere sumas infinitas, todas ellas, salvo un número finito, son cero. Incluso se pueden tomar matrices triangulares superiores con filas/columnas infinitas en ambas direcciones utilizando $(\mathbb Z,\leq)$ para su Poset.

(En un poset infinito general $P$ lo que se requiere para que la multiplicación del álgebra esté bien definida es que el poset sea "localmente finito").

Answer 3

He aquí dos puntos relativos a su pregunta.

En primer lugar, como sugieres, para dos bases cualesquiera las matrices triangulares superiores con respecto a esas bases sí están relacionadas: el cambio de matriz de base $B$ conjuga toda matriz triangular superior $M$ en una base a una matriz triangular superior $BMB^{-1}$ en la otra base.

En segundo lugar, existen algunos invariantes útiles asociados a las matrices triangulares superiores, a saber, los invariantes de la teoría de grupos. Esto es más claro en el grupo $GL(n,\mathbb C)$ de todos los invertibles $n \times n$ matrices complejas. En primer lugar (y esto es fácil) el subgrupo completo de matrices triangulares superiores es un grupo soluble. Además (y esto es Teorema de Lie-Kolchin ) para cada subgrupo soluble $H < GL(n,\mathbb C)$ existe una base de $\mathbb C^n$ con respecto a la cual $H$ es triangular superior; equivalentemente, existe una matriz $B \in GL(n,\mathbb C)$ tal que el subgrupo $BHB^{-1}$ es triangular superior.

Answer 4

Si consideramos una cierta clase de matrices triangulares superiores, a saber, las que son estrictamente triangular superior entonces sí que hay una buena caracterización en términos de nilpotencia . Una matriz es nilpotente si hay un entero no negativo $k $ para lo cual $N^k=0$ . En particular, una matriz es nilpotente si y sólo si es similar a una matriz estrictamente triangular superior con bloques $S_1,\dots,S_n $ por encima de la diagonal. En otras palabras, de la forma $\begin{pmatrix}0&S_1&0&\dots&0\\0&0&S_2&\dots&0\\\vdots\\0&\dots&0&0&S_n\\0&0&\dots&0&0\end {pmatrix} $ .

Answer 5

Se puede dar también una definición recursiva en forma de "descomposición en bloques"

$$\begin{cases}T_{n+1}=\left[\begin{array}{c|c}a&V^T\\ \hline 0&T_{n}\end{array}\right] \ \text{with} \ a \in \mathbb{R}, \ 0, V \in \mathbb{R^n} \\ T_1=a \in \mathbb{R}\end{cases}$$

donde la notación $T_n$ es para una matriz triangular superior de orden $n$ y $0$ para un vector cero.