Cómo mostrar que el operador diferencial puede ser definido en términos de ciertos operadores de conmutador

Question

Deje $U$ ser cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ (o, más en general, de algunos liso del colector). Definir $\mathcal{D}_{-1}(U):=\{0\}$. Para cualquiera de los dos operadores lineales $A$$B$, el conmutador operador $[A,B]$ está dado por $A\circ B-B\circ A$. Para cualquier $f\in C^\infty(U)$ definimos el operador $m_f\in \text{End}(C^\infty(U))$ tal que $m_f\ g=f g$. Considere la posibilidad de $P\in \text{End}(C^\infty(U))$. Por definición, nos tomamos ese $P\in \mathcal{D}_k$ fib $[P,m_f]\in \mathcal{D}_{k-1}$.

Mi problema es que yo quiero mostrar que el conjunto, se $\mathcal{D}_k'$, de todos los operadores diferenciales parciales con suave coeficiente de funciones de orden en la mayoría de las $k$ es igual a $\mathcal{D}_k$ por cada $k\in\{0,1,2,\dots\}$.

Es fácil demostrar que los $\mathcal{D}'_0=\mathcal{D}_0$. Lo mismo pasa con la declaración de que $\mathcal{D}'_k\subset \mathcal{D}_k$ todos los $k$. La dificultad se encuentra en el reverso de la inclusión. Tengo una fuerte sensación de que cualquier $P\in \mathcal{D}_k$ puede ser representado por

$ P=\sum_{|\alpha|\leq k}\frac{C^\alpha_P(1)}{\alpha!}\partial^\alpha $.

Aquí $\alpha$ son multi-índices e $C^0_P:=P$ $C^\alpha_P=[C^\beta_P,f_{\alpha-\beta}]$ donde $\beta$ es cualquier multi-índice de un orden inferior a $\alpha$ tal que $\alpha-\beta$ está bien definido como un multi-índice y su orden es igual a uno. Además, para cualquier $f_{\alpha-\beta}$ da $(\alpha-\beta)^\text{th}$ coordenadas de cualquier $x\in U$: $f_{\alpha-\beta}(x)=x_{\alpha-\beta}$.

Sin embargo, no han sido capaces de completar el argumento inductivo. Debería ser posible para mostrar con las propiedades algebraicas de cálculo diferencial y de la definición dada anteriormente. Pero yo no lo veo.

Amablemente aprecia,

Aris

Answer 1

Creo que he encontrado una solución. Para todos los interesados, aquí están algunos puntos en lo que yo creo que para ser la dirección correcta.

Considere la posibilidad de un operador $P\in \mathcal{D}^k$ y algunos liso función de $f$ y supongamos que estamos interesados en el valor de $Pf$$x_0$. A continuación, considere la posibilidad de la $k^\text{th}$ expansión de Taylor $f^k_{x_0}$$f$$x_0$. El término de error en la expansión puede ser escrita en la forma $E(x)=\sum_{|\beta|=k}g_\beta(x) (x-x_0)^k$ donde $g_\beta$ son suaves funciones. Si dejas $P$ trabajo en f escrito en la misma Taylor de la expansión y el uso de la perspectiva de las propiedades de la clase $\mathcal{D}^k$, y evaluar la función cada vez en $x=x_0$, usted finalmente va a conseguir algo que se parece a lo que está indicado en mi descripción del problema y el término de error en gotas.