Pruebas alternativas Lema determinante de la matriz

Question

Bueno, como muchos de ustedes saben wiki tiene una hermosa prueba de la Matriz Determinante Lemma La prueba de Wiki

Pero: ¿cómo demonios se supone que uno va a llegar allí por su cuenta? No hay forma de que cuando un profesor te pida que demuestres el lema en tu, digamos, cuarto semestre, se te ocurra la idea para esa demostración. Así que mi pregunta es: ¿Existen métodos alternativos para demostrar el lema que sean más intuitivos o, digamos, realistas?

Answer 1

Empezar con la matriz triangular inferior $I+ue_1^T$ donde se sabe que el determinante es $1+u_1=1+e_1^Tu$ .

---

A continuación, sabes que existen matrices que reflejan o rotan cualquier vector $v$ en un múltiplo de $e_1$ , $Qv=\alpha e_1\iff v=αQ^Te_1$ (Reflejantes de Householder, compleción de bases a una base ortonormal,...).

Entonces $$ \det(I+uv^T)=\det(I+αue_1^TQ)=\det(I+αQue_1^T)=1+αe_1^TQu=1+v^Tu. $$

---

Después, el caso general es sencillo, $$ \det(A+uv^T)=\det(A)\det(I+A^{-1}uv^T)=\det(A)(1+v^TA^{-1}u). $$