¿Cuándo tiene un conjunto convexo una única dirección normal hacia el exterior?

Question

Sea $C$ sea un conjunto cerrado, no vacío y convexo (en un espacio real de Hilbert $\mathcal{X}$ ), y que $c\in C$ sea un punto de su frontera. ¿Cuándo será el cono normal $N_Cc$ tienen una dirección única (distinta de cero)? Mi definición del cono normal en $c$ es $N_Cc=\{x\in\mathcal{X} | (\forall d\in C) \langle x|d-c\rangle\leq 0\}$ . Ya sé que esto es válido para muchos conjuntos sencillos como bolas y semiespacios, pero quiero un resultado más general.

Este extracto de Rockafellar/Wets describe con precisión la noción que busco:

En $x$ es cualquier punto de una frontera curva del conjunto $C$ el [cono normal] se reduce a una semirrecta que corresponde a la dirección normal hacia el exterior indicada clásicamente.

Sin embargo, el libro no proporciona ninguna definición de frontera "curva". Busco una caracterización rigurosa de esta clase de conjunto. Se agradecen mucho las referencias adicionales sobre geometría/análisis convexo.

Answer 1

He aquí una referencia que podría ayudarle. https://ximera.osu.edu/mklynn2/multivariable/content/03_14_gradient/gradient

El primer Teorema de la sección ''El gradiente y los conjuntos de niveles'' dice:

Consideremos una función $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ y supongamos $f$ es de clase $C^{1}$ . Para una constante $c$ consideremos el conjunto de niveles $S = \{x\ |\ f(x)=c\}$ . Entonces, para cualquier punto $x\in S$ el gradiente $\nabla f(x)$ es perpendicular a S.

Si la función $f$ es una función convexa, entonces el conjunto $K = \{ x\ |\ f(x)\leq c \}$ es un conjunto convexo y $S$ es el límite de $K$ es decir, $S = \partial K$ . El gradiente (único) $\nabla f(x)$ es la normal en el punto $x\in S$ .

Answer 2

Ler $p\in \partial C$ . Por el teorema de Hahn Banach, existe un hiperplano $H$ reunión $C$ exactamente a $p$ . Localmente alrededor de $p$ , $\partial C$ es el gráfico a una función $\varphi $ de $H$ a la línea $H^{\perp}$ . La función $\varphi $ es convexa, y su comportamiento local controla la geometría de $C$ cerca de $p$ . Por ejemplo, si es derivable en $p$ entonces el cono normal es la línea $H^{\perp}$ .