¿Cuándo la convergencia en la medida implica la convergencia en casi todas partes?

Question

Sé que la convergencia en casi todas partes implica convergencias en la medida (a veces se dice localmente). También sé que la convergencia en la medida implica la existencia de subsecuencia que es convergente en casi todas partes.

Sin embargo me pregunto si hay algunas condiciones adicionales a partir de las cuales la convergencia en medida implicará convergencia en casi todas partes (para toda una secuencia, no sólo subsecuencia).

Por favor, no menciones la discreción. Tomemos por ejemplo una línea real y una secuencia de funciones sobre ella.

Gracias, por cualquier ayuda.

Answer 1

Si la convergencia en la medida es lo suficientemente rápida, se producirá la convergencia a.e. Supongamos que $(f_n)$ converge en medida en el espacio de medidas $(E,\mathcal E,\mu)$ . Si $\mu(\{x\in E: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})$ converge a $0$ tan rápidamente que $\sum_n\mu(\{x\in E: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})<\infty$ para cada $\epsilon>0$ entonces $\mu(\{x\in E: \limsup_n|f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})=0$ para cada $\epsilon>0$ (lema de Borel-Cantelli), por lo que $f_n\to f$ $\mu$ -a.e.

Answer 2

Sea $f,f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ ser mensurables y $f_n \rightarrow f$ en medida $\mu$ . Si $f_n$ es monótona creciente, entonces $f_n \rightarrow f$ casi en todas partes.

Boceto: Por teoremas básicos $f_n$ tiene una subsecuencia $f_{n_k}$ tal que $f_{n_k}\rightarrow f$ casi en todas partes. Si $f_n \not\rightarrow f$ en casi todas partes, por monotonicidad existe un conjunto $A \subseteq X$ con $\mu(A)>0$ tal que para todo $x \in A$ tenemos $f_n(x) \rightarrow \infty$ . De nuevo por monotonicidad, para cada $x \in A$ y cada subsecuencia $f_{n_i}$ tenemos $f_{n_i}(x) \rightarrow \infty$ . Sin embargo, esto implicaría que existe un conjunto no nulo $A$ tal que $f_{n_k} \not \rightarrow f$ en $A$ . Esto contradice el hecho de que $f_{n_k}\rightarrow f$ casi en todas partes. Así, $f_n \rightarrow f$ casi en todas partes.