Funciones integrables de Riemann pero no de Lebesgue

Question

Sé que hay funciones que son integrables de Riemann pero no de Lebesgue, por ejemplo, $$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d}x$$

Es integrable de Riemann y se demuestra fácilmente que su valor es $\pi $ sin embargo, no es integrable en Lebesgue porque $$\int_{\mathbb{R}} \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \mathrm{d}x$$ diverge. ¿Qué ocurre aquí? Pensaba que la integración de Lebesgue era una extensión de la integración de Riemann, algo así como que los valores principales son una "extensión" de la noción de integral impropia, y que si una integral impropia converge, es igual a su valor principal, ¿por qué entonces toda función que es integrable de Riemann no es integrable de Lebesgue?

Por supuesto, lo contrario también es cierto, hay funciones que son integrables de Lebesgue pero no integrables de Riemann, así que ¿qué está pasando aquí? ¿Cómo se extiende una noción integral a la otra y cómo no se contradicen?

Gracias, señor.

Answer 1

Lo que sigue es un poco incoherente, pero espero que le resulte útil.

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La integral de Riemann sólo está definida para funciones acotadas sobre intervalos acotados, que son todos Lebesgue-integrables. Es la extensión de la incorrecto Integral de Riemann que puede integrar funciones no integrables por Lebesgue.

Recordemos que una función $f$ es impropiamente Riemann-integrable en $(a,b)$ si $\int_c^d f$ existe para todos $c,d$ con $a<c<d<b$ et $\lim_{\substack{c \to a \\ d \to b }}\int_c^d f$

Una forma fácil de entender la diferencia es que si $f$ es Lebesgue-integrable, $\lvert f \rvert$ debe ser también Lebesgue-integrable (básicamente porque así es como definimos la integral de Lebesgue para funciones no positivas). $\sin{x}/x$ no satisface esto, por lo que no puede ser Lebesgue-integrable.

Otra forma de entender la integral de Lebesgue es a través de la Construcción Daniell tomamos un espacio vectorial de funciones básicas $\mathcal{F}$ (para que además $f \in \mathcal{F}$ sólo si $|f| \in \mathcal{F}$ ) y un mapa $I: \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ que satisfaga la linealidad, la positividad ( $f \geq 0 \implies I(f) \geq 0$ ) y continuidad (si $f_n$ es una secuencia no creciente que converge puntualmente a $0$ entonces $I(f_n) \to 0$ ). Se puede definir entonces una integral sobre funciones representables como límite monótono de las funciones en $\mathcal{F}$ con algunas sutilezas para tratar las funciones negativas. La ventaja aquí es que uno puede elegir la integral básica $I$ como la integral de Riemann y las funciones elementales como las funciones continuas en un intervalo finito, o funciones continuas compactamente soportadas, y entonces se puede demostrar que esta construcción da la integral de Lebesgue.

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La utilidad de la integral de Lebesgue no reside realmente en ampliar unilateralmente la integral de Riemann. Para esto la integral de Gauge/Henstock-Kurzweil es una idea mucho mejor, y de hecho, funciones como la función característica de los racionales no son comunes en las aplicaciones de integración para las que se favorece la teoría de Lebesgue (que son la mayoría). En cambio, hemos descubierto que tiene otras ventajas:

• Los espacios de funciones integrables de Lebesgue suelen ser mejores que los espacios de funciones integrables de Riemann. La principal ventaja es que los límites de las funciones integrables de Lebesgue suelen ser también integrables de Lebesgue (los límites puntuales, por ejemplo, lo son por uno u otro de los Teoremas de Convergencia), mientras que no ocurre lo mismo con las funciones integrables de Riemann: se necesita convergencia uniforme para que el límite sea integrable de Riemann. Esto significa que, por ejemplo $L^1$ es un espacio de Banach con norma dada por la integral del valor absoluto, mientras que habría que utilizar la norma uniforme para convertir un espacio de funciones de Riemann-integrables en un espacio de Banach, con la consiguiente falta de flexibilidad: la convergencia uniforme es difícil de demostrar y, en general, ¡demasiado pedir!
• La otra ventaja principal es que la integral de Lebesgue puede definirse sobre espacios mucho más generales que la integral de Riemann (la integral de Riemann requiere una estructura de orden de algún tipo en el conjunto subyacente, por lo que se limita esencialmente a $\mathbb{R}^n$ ), lo que la hace útil en un contexto mucho más general.

Éstas son las razones modernas para utilizar la integral de Lebesgue: difícilmente puede haber sido ésta la motivación de Lebesgue, que probablemente estaba más arraigada en la extensión que sugieres. Además, es muy difícil demostrar una función no integrable localmente por Lebesgue en un intervalo finito: se necesita mucho del axioma de elección.

Básicamente hemos descubierto que hay dos tipos comunes de integrales que se pueden definir en los números reales: Integrales "absolutas", que tienden a ser la integral de Lebesgue si son suficientemente generales (en esta categoría tenemos a Daniell, Mikusiński y McShane, por ejemplo). El otro tipo son las no absolutas más generales, como la integral gauge.

Answer 2

A mi modo de ver, la integral de Lebesgue es efectivamente una "mejora" de la integral de Riemann, y la función que das es de hecho un ejemplo de ello. En otras palabras, el hecho de que esta función tenga una integral de Riemann en $\mathbb{R}$ sólo demuestra que la integración de Riemann tiene algunos defectos. Esto está directamente relacionado con el siguiente hecho:

Sea $\sum a_n$ sea una serie condicionalmente convergente. Entonces para cualquier número real $\alpha$ se produce una reordenación de $\sum a_n$ que converge a $\alpha$ .

En tu ejemplo, puedes tomar la función en cada intervalo $[n\pi,(n+1)\pi]$ y reordenar los intervalos. El hecho anterior implica que cualquier número real podría obtenerse como una integral de Riemann "reordenada" de la función de este modo. En cambio, la integral de Lebesgue ignora cualquier orden. De hecho, es aditiva para cualquier secuencia de conjuntos medibles. Por tanto, si la función fuera integrable por Lebesgue, su integral de Lebesgue tendría que ser igual a cualquier número real.

Answer 3

Para $r>0$ su función tiene tanto una integral de Riemann como una integral de Lebesgue sobre $[0,r]$ y tienen el mismo valor en términos de $r$ . Ahora dejemos que $r\to\infty$ . Este común $r$ -tiende a un límite, que tradicionalmente se denomina el integral de Riemann impropia sobre $[0,\infty)$ . También podría llamarse integral de Lebesgue impropia sobre $[0,\infty)$ pero por (buenas) razones históricas no lo es. Como han comentado otros, esa terminología es engañosa: el valor es un límite de una integral (dependiente de un parámetro) y no una integral en sí. Dicho esto, rara vez hay problema en tratar esos límites como integrales, por lo que la terminología no suele dar lugar a confusión en la práctica.