$f(x) = x^4 - 10x^2 + 1$ . No podemos utilizar el Criterio de Eisenien porque no se aplica a este caso concreto. $f(x)$ así que no sé qué más hacer. ¿Ideas?
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Kaj Hansen
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Por el teorema de las raíces racionales, este polinomio no tiene raíces racionales. Por lo tanto, si es reducible sobre $\mathbb{Q}$ entonces debe factorizarse en dos cuadráticas con coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Tal factorización, si existe, no es difícil de encontrar. Obsérvese que el polinomio es "cuadrática" en $x^2$ .
Por lo tanto, puedes aplicar la fórmula cuadrática con la sustitución $y = x^2$ y comprueba si la factorización resultante tiene coeficientes racionales. Aplicando este método, obtenemos:
$$x^2 = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$$
Y así debe ser la factorización del polinomio en dos cuadráticas:
$$(x^2-(5+2\sqrt{6}))(x^2 + (5+2\sqrt{6}))$$
Entonces, ¿qué podemos concluir?
