Función maximizadora de $n$ variables

Question

Estoy considerando la siguiente función $$f(x_1,\dots,x_n,y)=-\alpha \left(y-k_1\right)^2-\beta \sum_{i=1}^n\left(k_2-x_i\right)^2-\gamma \sum_{i=1}^n\left(y-x_i\right)^2 - \frac{\delta}{y-d} \sum_{i=1}^n (x_i-d)\, ,$$ donde $(x_1,\dots,x_n,y)\in[d,1]^{n+1}$ , $d>0$ y $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , $k_1$ , $k_2>0$ . Además, $x_i\leq y$ $\forall$ $i=1,\dots,$ $n$ . Intento calcular el máximo de esta función en ese dominio.

Antes de utilizar el método de "fuerza bruta" (es decir, calculando derivadas, el hessiano, etc.), me pregunto si es posible obtener el máximo absoluto de una forma más sencilla. Por ejemplo, observo que $f\leq0$ ...

Answer 1

Considere $y$ arreglado como sugirió Paul Sinclair. Su función objetivo es ahora separable: puede optimizar cada $x_i$ independientemente. También es cóncava en $x_i$ (ya que la segunda derivada es negativa), por lo que se maximiza cuando la derivada es 0: $$-2\beta (k_2-x_i) - 2\gamma(y-x_i) - \frac{\delta}{y-d} = 0$$ que puede escribirse como $$2(\beta + \gamma)x_i = 2\beta k_2 + 2\gamma y + \frac{\delta}{y-d}$$ por lo que la solución es $$x_i = \frac{\beta k_2 + \gamma y}{\beta + \gamma} + \frac{\delta}{2(\beta + \gamma)(y-d)}$$ Puede conectar esto y maximizar sobre sólo $y$ . Como el último término de su objetivo no está elevado al cuadrado, la maximización sobre $y$ no es sencillo: probablemente existan múltiples óptimos locales. Se podría realizar una búsqueda reticular de $y$ o aplicar un algoritmo de optimización basado en el gradiente y probar varios puntos de partida.

Answer 2

¿Son realmente los derivados manera la fuerza bruit?

Las derivadas de $$f(x_1,\dots,x_n,y)=-\alpha \left(y-k_1\right)^2-\beta \sum_{i=1}^n\left(k_2-x_i\right)^2-\gamma \sum_{i=1}^n\left(y-x_i\right)^2 - \frac{\delta}{y-d} \sum_{i=1}^n (x_i-d)\, $$ son ceros en los puntos estacionarios, $$\begin{cases} f''_{x_j}(x_1,\dots,x_n,y)=2\beta \left(k_2-x_j\right)+2\gamma \left(y-x_j\right) - \dfrac{\delta}{y-d}\, =0\\ f'_y(x_1,\dots,x_n,y)=-2\alpha \left(y-k_1\right)-2\gamma \sum\limits_{i=1}^n\left(y-x_i\right) - \dfrac{\delta}{y-d} \sum\limits_{i=1}^n (x_i-d)\, =0, \end{cases}$$ o, para $y\not=d,$ $$\begin{cases} 2\beta (y-d)\left(k_2-x_j\right)+2\gamma (y-d) \left(y-x_j\right) - \delta\, =0, \quad j=1\dots n\\ -2\alpha (y-d)^2\left(y-k_1\right)-\gamma (y-d)^2\sum\limits_{i=1}^n\left(y-x_i\right) - \delta \sum\limits_{i=1}^n (x_i-d)\, =0, \end{cases}$$ así que $$\begin{cases} -2(\beta+\gamma) (y-d)x_j + 2(y-d)(\beta k_2+\gamma y) - \delta\, =0, \quad j=1\dots n\\ -2(\beta+\gamma) (y-d)\sum\limits_{i=1}^n x_i + 2n(y-d)(\beta k_2+\gamma y) - n\delta\, =0\\ (\gamma-\delta)(y-d)^2\sum\limits_{i=1}^nx_i + (2\alpha k_1 - \gamma y)n(y-d)^2 +n\delta d\, =0. \end{cases}$$ Suma de los factores de las ecuaciones segunda y tercera $2(\gamma-\delta)(y-d)$ y $(\beta+\gamma)$ da $$\begin{cases} -2(\beta+\gamma) (y-d)x_j + 2(y-d)(\beta k_2+\gamma y) - \delta\, =0, \quad j=1\dots n\\ 2(\gamma-\delta)(2n(y-d)(\beta k_2+\gamma y) - n\delta) + ((2\alpha k_1 - \gamma y)n(y-d)^2 +n\delta d)(\beta-\gamma)\, =0, \end{cases}$$ y esto conduce a la ecuación cúbica para $y$ y expresiones explícitas para $x_j.$