Forma de intersección en homología retorcida (homología con coeficientes locales)

Question

La respuesta a esta pregunta debería ser obvia, pero no consigo averiguarla. Supongamos que tenemos una superficie $F$ y una representación $\rho : \pi_1(F)\to SU(n)$ . Podemos definir la homología con coeficientes locales $H_*(F,\rho)$ directamente como la homología del complejo trenzado $$C_*(F,\rho):=C_*(\widetilde{F};\mathbf{Z})\otimes_{\mathbf{Z}[\pi_1(F)]} \mathbf{C}^n$$ donde $\widetilde{F}$ es la cubierta universal, y $\mathbf{Z}[\pi_1(F)]$ actúa en cada lado de la manera obvia.

Ahora bien, este complejo es en realidad muy fácil de calcular explícitamente: basta con levantar una buena base de celdas en $F$ a $\widetilde{F}$ y escribir explícitamente los mapas de límites. Por ejemplo, si $F$ es un toroide y tomamos $n=2$ podemos elegir una base natural meridiano-longitud $(x,y)$ para $H_1(F)$ y el mapa de frontera retorcida $\partial_1:C_1(F,\rho)=\mathbf{C}^4\to C_2(F,\rho)=\mathbf{C}^2$ es $$ \left( \begin{array}{ccc} \rho(x)-Id \newline\rho(y)-Id\end{array} \right)$$

Esta es mi pregunta. Desde $\rho$ es una representación unitaria, deberíamos obtener una forma de intersección retorcida en $H_1(F)$ simplemente combinando la forma de intersección sin torsión con el producto hermitiano estándar sobre $\mathbf{C}^2$ ¿verdad? Y me imagino que esto también es muy fácil de calcular, en una base similar, digamos? Me parece que no puedo averiguar cómo iría. ¿Alguien podría ayudarme, incluso mostrarme cómo funciona para el mismo ejemplo del toroide?

O, si he dicho algo malo, ¿dime dónde?

Answer 1

Lo que dices es correcto, y tiene sentido en cualquier colector de dimensiones uniformes. Calcularlo puede ser complicado: un enfoque útil es utilizar un complejo de celdas regular y el complejo dual, entonces a nivel de cadena la forma de intersección viene dada por la matriz identidad (véanse las dos primeras páginas de "a duality theorem for Reidemeister torsion" de Milnor).

Una sugerencia para el cálculo es suponer $\rho$ es irreducible, ya que si $C^n$ se divide invariablemente bajo $\pi_1F$ también lo hace la cohomología. En tu ejemplo del toroide, puesto que $\pi_1=Z\oplus Z$ es abeliano, las únicas repeticiones irreducibles son unidimensionales. Por razones de la característica de Euler (y la dualidad de Poincare) en este caso resulta que o bien la rep es trivial, en cuyo caso se conoce la respuesta, o bien la rep no es trivial, en cuyo caso la homología desaparece y la forma de intersección es trivial. Para superficies de mayor género se obtiene algo distinto de cero, pero en esta dimensión se obtiene una forma skew-hermitiana, que está determinada hasta iso por su rango, si no me equivoco. Para dimensiones divisibles por 4, se puede obtener una signatura interesante (es decir, distinta de cero), pero para una variedad cerrada será igual a n veces la signatura ordinaria por la forma retorcida del teorema de la signatura de Hirzebruch.

Pero la forma de intersección trenzada es interesante cuando la variedad tiene un límite no vacío, ya que proporciona invariantes del límite. Cientos de artículos se basan en esta observación. Incluso cuando la superficie tiene un límite no vacío se obtiene algo interesante.

Answer 2

Para mí es más fácil trabajar con cohomología (sólo por razones psicológicas). Además, distinguiré la representación $\rho$ del sistema local $V$ con fibras ${\mathbb C}^2$ que da lugar. Así que donde se escribiría $H^1(F,\rho)$ Escribiré $H^1(F,V)$ . Dejaré que $\overline{V}$ denota el sistema local complejo conjugado a $V$ . (Se trata, pues, del mismo sistema local subyacente de grupos abelianos, pero le damos la acción conjugada de $\mathbb C$ .)

El emparejamiento Hermitiano en las fibras de $V$ y $\overline{V}$ da un emparejamiento de locales $V \times \overline{V} \to \mathbb R$ donde $\mathbb R$ es el sistema local constante con fibra los números reales. Si quieres podemos pensar en esto como un $\mathbb R$ -mapa lineal $V\otimes_{\mathbb C}\overline{V} \to \mathbb R.$ Este emparejamiento inducirá un mapa en cohomología $H^2(F,V\otimes_{\mathbb C}\overline{V}) \to H^2(F,\mathbb R)$ .

También habrá un producto de copa $H^1(F,V) \times H^1(F,\overline{V}) \to H^2(F, V\otimes_{\mathbb C} \overline{V})$ . Combinando esto con el mapa anterior sobre $H^2$ le da a su producto taza retorcida $H^1(F,V)\times H^1(F,\overline{V}) \to H^2(F,\mathbb R)$ .

Esto da una perspectiva de su construcción. Para calcularla, escribe las co-cadenas retorcidas $C^{\bullet}(\tilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2$ , entonces escriba el producto taza $$(C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2 ) \times (C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2) \to C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]} \mathbb R^2 = C^{\bullet}(F,\mathbb R).$$ El producto de la copa sólo se dará por la fórmula habitual, y luego también emparejará el $\mathbb C^2$ partes de las co-cadenas utilizando el emparejamiento hermitiano.

Esperemos que pueda seguir su nariz y hacer esto explícitamente para el toroide. Entonces puedes dualizarlo todo para llegar a la versión homológica.